대수적으로 닫힌 체

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어떠한 대수적으로 닫혀 있다(algebraically closed)는 것은, 그 체를 기반으로 한 일변수 다항식이 모두 근을 하나 이상 가진다는 것을 의미한다.

예제[편집]

  • 복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다.
  • 실수체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 변수 x에 대한 다항방정식 x^2+1 = 0은 실수근을 갖지 않는다. 같은 이유로 유리수체도 대수적으로 닫혀 있지 않다.
  • 모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 a_1, a_2, \cdots, a_n인 경우, 다항식 (x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1은 해를 갖지 않는다.
  • 대수적 수로 구성된 체는 대수적으로 닫혀 있다.

성질[편집]

어떤 체 F가 대수적으로 닫혀 있다는 것은 다음의 명제와 동치이다.

참고자료[편집]