대수적으로 닫힌 체

어떠한 체가 대수적으로 닫혀 있다(algebraically closed)는 것은, 그 체를 기반으로 한 일변수 다항식이 모두 근을 하나 이상 가진다는 것을 의미한다.

예제

• 복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다.
• 실수체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 변수 $x$에 대한 다항방정식 $x^2+1 = 0$은 실수근을 갖지 않는다. 같은 이유로 유리수체도 대수적으로 닫혀 있지 않다.
• 모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 $a_1, a_2, \cdots, a_n$인 경우, 다항식 $(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1$은 해를 갖지 않는다.
• 대수적 수로 구성된 체는 대수적으로 닫혀 있다.

성질

어떤 체 $F$가 대수적으로 닫혀 있다는 것은 다음의 명제와 동치이다.

• $F$를 기반으로 한 다항식환 $F[x]$의 기약다항식이 모두 일차식이다.
• $F$의 대수적 확대가 $F$ 자신밖에 존재하지 않는다.
• 임의의 $F^n$에 대해, $F^n \to F^n$인 선형사상은 항상 어떠한 고유값을 가진다. 이것은 해당 선형사상의 특성다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.

참고자료

• 서지 랭, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
• B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5