인수 분해

인수 분해(Factorization)는 곱이 정의된 집합내의 어떤 원소를 다른 원소들의 곱으로 표현하는 것을 가리킨다. 특히, 정수집합에서 어떤 주어진 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 것은 소인수 분해라고 부른다. 따라서 소인수 분해는 인수분해의 일종이 된다. 일반적으로는 한 다항식을 두 개 이상의 인수(factor)로 분해하는 것을 말한다.

$x^2+7x+12$의 경우 $(x+3)(x+4)$로 만드는 것을 말한다. 이와 반대로 $(x+3)(x+4)$을 $x^2+7x+12$로 만드는 것은 전개(expansion)라고 한다.

인수분해의 목적은 보통 어떤 원소를 더 기초적이고 간단한 조각으로 분해하는 데 있다. 예를 들어, 수를 소수들의 곱으로, 다항식을 인수분해 되지 않는 다항식으로 분해하는 것이다. 그리고 다항식의 경우는, 변수 $x$에 대하여 $x$가 근삿값 일 때, 근삿값을 참값에 가깝게 계산하기 위함과 방정식 등 을 풀기 위해 사용한다. 정수 집합에서는 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic), 다항식의 집합에서는 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)와 관련이 있다. 그러나 모든 환(ring)에서 인수분해가 더 이상 분해되지 않는 원소들의 곱으로 유일하게 표현되는 것은 아니다. 유일한 인수분해가 되는 정역을 유일분해정역(Unique factorization domain)이라고 한다.

큰 정수의 소인수 분해는 매우 어려운 작업이다. 현재까지 충분히 빠른 속도로 이러한 작업을 수행하는 알고리즘이 알려져 있지 않으며, RSA 암호 알고리즘은 이를 근거로 작동한다.

정수의 경우

이 부분의 본문은 소인수 분해입니다.

산술의 기본정리에 의해 모든 정수는 순서를 제외하면 소수들의 곱으로 표현하는 방법이 유일하다.

다항식의 경우

다항식의 계수(coefficient)의 집합을 어느 범위로 한정하느냐에 따라 소인수분해의 결과가 달라질 수 있다. 예를 들어, 계수를 유리수로 한정할 경우 $x^2 - 2$과 $x^2 + 2$는 모두 인수분해 되지 않으므로 기약다항식(Irreducible polynomial)이 된다. 그러나 실수로 확장하면 $x^2 - 2$는 $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$로 인수분해 되고, $x^2 + 2$는 여전히 기약다항식이 된다. 계수를 복소수로 더 확장하면 비로소 $x^2 + 2$는 $(x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i)$로 인수분해 된다. 계수에 복소수를 허용하면 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 모든 복소계수 다항식이 일차식으로 항상 인수분해 가능하다.

이차식

이차식 $ax^2 + bx + c$가 주어져 있을 때, 이 이차식의 값을 영으로 만드는 두 원소 $\alpha, \beta$가 있다면 다음과 같이 인수분해 된다.

$a(x - \alpha)(x - \beta)$

또한 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 다음과 같이 계수로 표현가능하다.

${ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta) = a\left(x - \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \left(x - \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right),}$

고차식

삼차, 사차식의 경우에는 근의 공식을 이용할 수도 있다. 그러나 계산과정이 길고 손으로 직접하기에는 어려움이 따른다.

특별한 고차식에 적용할 수 있는 다양한 테크닉들이 있는데, 이러한 몇몇 공식들은 중고교 교과과정에서 자주 등장한다. 예를 들어,

$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

$a^4 + a^2 b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$

$a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)$

와 같은 공식들이 있다. 이와 같은 공식들이 적용되지 않는다면 적당히 추측하는 방법을 동원하여 조립제법을 쓰는 경우도 있다.

위 공식을 사용하여 1보다 큰 모든 정수 n에 대해 $n^4 + 4^n$이 다음과 같이 항상 소수가 아님을 알 수 있다.(헝가리 Kürschák 경시대회 1978년 문제)

(증명) n이 짝수일 경우 $n^4 + 4^n$은 짝수이다. n이 홀수일 경우, $n^4 + 4^n = n^4 + 4\cdot 4^{2k} = n^4 + 4\cdot (2^k)^4$이므로 역시 합성수가 된다.

잘 알려진 인수 분해 공식

다음은 대한민국의 고등학교 1학년 수준의 인수 분해 공식들이다.
(단, 2차식은 중학교 3학년 과정이다.
또, 위의 두 문장들은 제 7차 개정 교육과정 (2007 개정 교육과정)을 기준으로 작성한 것이다.)
2차식

• $\,ma\pm mb = m(a\pm b)$
• $\,a^2\pm 2ab+b^2 = (a\pm b)^2$
• $\,a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$
• $\,x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)$
• $\,acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)$
• $\,a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = (a+b+c)^2$

3차식

• $\,a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3 = (a\pm b)^3$
• $\,a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
• $\,(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc = (a+b)(b+c)(c+a)$
• $\,a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = \frac{1}{2}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}$

4차식

• $\,a^4+a^2b^2+b^4 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

단, 모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

함께 보기

• 곱셈 공식
• 곱셈 공식의 변형
• 유일분해정역(unique factorization domain)
• 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)
• 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)