복소수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

수학에서의 복소수(複素數, complex number)는 다음 꼴로 나타낼 수 있는 수 이다.

\,a+bi

이 때 a, b는 실수이고 i허수단위i^2 = -1을 만족한다. 실수 a를 그 복소수의 실수부, 실수 b를 복소수의 허수부라고 부른다. 모든 실수는 복소수에 포함된다. 왜냐하면 모든 실수는 허수부가 0인 복소수로 표시할 수 있기 때문이다. 즉 실수 a 는 복소수 a+0i 와 같다. 예를 들어, \sqrt 13은 실수부가 \sqrt 13이고 허수부가 0인 복소수이다.

복소수에서도 실수에서 성립하는 사칙 연산을 정의할 수 있고, 기존의 성질을 대부분 만족한다. 예를 들어, 복소수에서도 실수에서도 마찬가지로 사칙연산에 대해 닫혀 있다.

전자공학 등의 분야에서는 전류의 기호로 i를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 j로 표기하는 경우도 있다

정의[편집]

기호[편집]

복소수의 집합볼드체 \mathbf{C} 또는 칠판 볼드체 \mathbb{C}로 표기한다. 임의의 실수 aa = a + 0i로 나타낼 수 있으며, 이런 의미에서 실수의 집합 \mathbf{R}\mathbf{C}의 부분집합으로 볼 수도 있다.

동일성[편집]

두 복소수가 서로 같다는 것은 두 복소수의 실수부가 서로 같고 허수부도 서로 같음을 말한다. 즉,

a+bi = c+di \Leftrightarrow a=c, b=d

로 정의한다.

연산[편집]

대수학의 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙 등과 i2 = -1이라는 조건을 이용하여 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 두 복소수의 덧셈과 곱셈은

덧셈: \,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
뺄셈: \,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
곱셈: \,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
나눗셈: \,(a + bi) / (c + di) = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,

복소수체[편집]

위에서 정의한 대로 복소수는 0으로 나누는 경우를 제외하면 4칙연산을 자유롭게 행할 수 있으며, 대수학에서는 이런 집합을 라고 한다. 따라서 복소수의 집합 \mathbf{C}는 체를 이루는데, 이를 강조하여 \mathbf{C}복소수체라고 부른다. 복소수체는 덧셈에 대한 항등원 0, 곱셈에 대한 항등원 1을 갖는다. 또한 복소수체에는 a + bi의 덧셈에 대한 역원 -a - bi와 곱셈에 대한 역원 {a\over a^2+b^2}-{b\over a^2+b^2}i도 존재한다. (물론 곱셈에 대한 역원은 a + bi \ne 0인 경우에만 존재한다.) 마찬가지로 실수의 집합 \mathbf{R}도 체를 이루며, 이를 실수체라고 한다. \mathbf{R}\mathbf{C}의 부분집합이므로 실수체는 복소수체의 부분체이다.

복소평면[편집]

복소수는 데카르트 좌표계가 주어진 2차원 평면 상의 점으로 볼 수 있다. 따라서 복소수의 집합 \mathbf{C}를 기하학적인 평면으로 볼 수 있으며, 이를 강조하여 \mathbf{C}복소평면이라고 부르기도 한다.

절댓값, 거리[편집]

복소수의 z = a + bi절댓값|z| \sqrt{a^2+b^2}로 정의한다. 이는 피타고라스 정리에 따라 복소평면의 원점(0)으로부터 그 복소수 까지의 거리로 볼 수 있다. 절댓값은 임의의 복소수 zw에 대해 다음과 같은 중요한 성질들을 만족한다:

 | z | = 0 \,필요충분조건 z = 0 \,
 | z + w | \leq | z | + | w | \, (삼각 부등식)
 | z \cdot w | = | z | \cdot | w |. \,

두 복소수 zw사이의 거리 d(z, w)|z - w|로 정의한다. 이렇게 하면 복소평면은 거리공간이 되며, 이를 이용하며 극한연속성 등을 정의할 수 있다.

켤레복소수[편집]

복소수 z와 그 켤레복소수 \bar{z}를 복소평면 상에 기하학적으로 표현함.

복소수 z = a + bi켤레복소수a - bi이며, \bar{z} 혹은 z^*\,로 표시한다. 그림에서 볼 수 있듯이 \bar{z}z를 실수축에 대해 반사시킨 상이다. 다음의 성질들이 성립한다는 것은 간단히 확인할 수 있다.

\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}
\overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}
\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}
\bar{\bar{z}}=z
\bar{z}=zz가 실수라는 조건과 동치
|z|=|\bar{z}|
|z|^2 = z\cdot\bar{z}
z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2} (z \ne 0일 경우).

켤레복소수 연산은 사칙연산을 비롯해 여러 중요한 함수와 교환될 수 있다. (예를 들어, 곱셈을 한 뒤에 켤레복소수를 취하나 각각에 켤레복소수를 취한 뒤에 곱셈을 하나 마찬가지이다.) 그러나 복소수를 그 켤레복소수로 보내는 함수 f(z) = \bar{z}복소해석함수가 아니라는 점을 주의해야 한다.

역사[편집]

역사적으로 음수의 제곱근이 최초로 나타난 것은, 서기 1세기 그리스의 수학자이자 발명가인 알렉산드리아의 헤론피라미드의 절단에 대한 부피를 계산할 때이다. 좀 더 명확히 나타난 때는 타르탈리아제롤라모 카르다노와 같은 16세기 이탈리아 수학자들이 삼차와 사차 다항방정식의 근에 대한 공식을 발견할 때이다. 그 당시의 수학자들은 이 공식들에서 실수해만을 구하려고 하였지만 그 과정에서 음수의 제곱근이 다루어지는 과정이 필요함을 곧 알 수 있었다. 그 당시에는 음수에 대한 이해도 부족했으므로 복소수는 수로서 인정되지 못했다.

17세기에 르네 데카르트가 처음으로 "허수"라는 용어를 사용하였다. 18세기에 드 무아브르레온하르트 오일러의 복소수에 대한 업적이 있었다. 유명한 드 무아브르의 공식에 드 무아부르의 업적이 나타나 있다:

(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta \,

그리고 복소해석학에서의 오일러의 공식에서 오일러의 업적을 볼 수 있다:

\cos \theta + i \sin \theta = e ^{i \theta} \,.

복소수의 존재성에 대해서는 1799년 카스파르 베셀이 복소수를 기하적인 표현으로 나타냄으로서 비로소 완전히 받아들여졌다. 이것은 수년 후에 카를 프리드리히 가우스가 발견하여 널리 알려져서, 결국 복소수가 매우 중요한 수의 확장으로 받아 들여졌다. 그러나 복소수의 기하학적 표현에 대한 생각은 1685년 존 월리스의 <De Algebra tractatus>에도 나타났다.

복소수의 확장[편집]

대수학의 기본 정리에 따르면, 일반적으로 계수가 복소수인 다항식 또한 그 근은 모두 복소수이다. 예를 들어  \sqrt{i} 는 여전히 복소수이다. 왜냐하면  \sqrt{i}{1\over \sqrt{2}} + {1\over \sqrt{2}} i-{1\over \sqrt{2}} - {1\over \sqrt{2}} i 라는 두 개의 근을 가지므로, 여전히 복소수로 표시할 수 있다. 이런 점에서 복소수는 제곱근을 씌우는 방식으로는 더 이상 확장되지 않는 가장 큰 범위의 수라고 할 수 있다.

하지만 복소수에 포함되지 않는 다른 수가 존재하지 않는다는 의미는 아니다. 수라는 것은 인간의 자유로운 상상력을 기반으로 얼마든지 만들 수 있기 때문이다. 예를 들어  \sqrt{x} = -1 을 만족하는 x 는 복소수가 아니며, 이러한 수를 새로 정의할 수 있다.[1]

주석[편집]

  1. 박부성, 〈수학산책 : 복소수와 제곱근〉, 네이버 캐스트, 2010년 10월 11일