클리퍼드 대수

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클리퍼드 대수(영어: Clifford algebra)는 결합 대수의 한 종류이다. 이것은 복소수사원수의 추상화 중 하나로 볼 수가 있으며 직교변형이차형식들을 연결한 수학적 이론이다. 이것은 기하학적 문제와 이론물리학에 응용된다.

정의[편집]

K이고, VK에 대한 벡터공간이라고 하고, Q\colon V\to K이차형식이라고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 \operatorname{Cl}(V,Q)는 다음 공리를 만족시키는, V를 포함하는 가장 일반적인 일반적인 단위원을 갖춘 K에 대한 결합 대수다.

v^2=Q(v)\forall v\in V

즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질(universal property)을 만족시킨다. . K에 대한, 단위원을 갖춘 결합대수들의 범주에서, j(v)^2=Q(v)1_A\forall v\in V를 만족시키는 임의의 대수 (A,j\colon V\to A)가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형사상 f\colon\operatorname{Cl}(V,Q)\to A가 존재한다.

CliffordAlgebra-01.png

여기서 i\colon V\to\operatorname{Cl}(V,Q)는 보통 생략한다.

클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.

\operatorname{Cl}(V,Q)=T(V)/\langle v\otimes v-Q(v)\rangle

여기서 T(V)V에 대한 텐서 대수

T(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty V^{\otimes n}

이고, \langle v\otimes v-Q(v)\ranglev\otimes v-Q(v)\in T(V)에 의하여 생성되는 아이디얼이다.

성질[편집]

V가 유한차원 벡터공간이고, 그 차원이 n이라고 하자. 클리퍼드 대수 \operatorname{Cl}(V,Q)2^n차원 벡터공간이다. \{e_i\}_{i=1,\dots,n}V기저라고 하자. 그렇다면 \operatorname{Cl}(V,Q)기저는 다음과 같이 주어진다.

\{e_{i_1}e_{i_2}\dotsb e_{i_k}|1\le i_1<i_2<\dotsb<i_k\le n\} 이에 따라, 클리퍼드 대수는 \mathbb Z/2 등급대수(graded algebra)를 이룬다. 즉, k가 짝수인 경우는 등급이 +1, 홀수인 경우는 등급이 −1이다.

클리퍼드 대수는 다음과 같은 등급가환법칙(graded commutativity)을 따른다. 임의의 a,b\in\operatorname{Cl}(V,Q)에 대하여,

ab=(-)^{\deg a\deg b}ba

여기서 \deg a\in\mathbb Z/2는 클리퍼드 대수의 원소의 등급이다.

만약 K=\mathbb F_2인 경우, 클리퍼트 대수는 외대수 \Lambda(V)와 동형이다.

분류[편집]

복소 클리퍼드 대수[편집]

(V,Q)가 비퇴화 이차형식이 주어진 유한차원 복소벡터공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 n=\dim_{\mathbb C}V만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 \operatorname{Cl}_n(\mathbb C)로 쓰자. 낮은 차원의 복소 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.

\operatorname{Cl}_0(\mathbb C)\cong\mathbb C
\operatorname{Cl}_1(\mathbb C)\cong\mathbb C\oplus\mathbb C (테사린, tessarine)
\operatorname{Cl}_2(\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}_2(\mathbb C) (2×2 복소 행렬)

또한, 다음과 같은 보트 주기성이 존재한다.

\operatorname{Cl}_{n+2}(\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}_2(\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}\operatorname{Cl}_n(\mathbb C)

따라서 모든 복소 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

실수 클리퍼드 대수[편집]

V가 유한차원 실벡터공간이고, Q부호수(p,q)인 비퇴화 이차형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.

\operatorname{Cl}_{0,0}(\mathbb R)\cong\mathbb R (실수)
\operatorname{Cl}_{0,1}(\mathbb R)\cong\mathbb C (복소수)
\operatorname{Cl}_{1,0}(\mathbb R)\cong\mathbb R^{1,1} (분할복소수)
\operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb R)\cong\mathbb H (사원수)
\operatorname{Cl}_{2,0}(\mathbb R)\cong\operatorname{Cl}_{1,1}\cong\operatorname{Mat}_2(\mathbb R) (2×2 실수 행렬)

또한, 다음이 성립한다.

\operatorname{Cl}_{p+2,q}(\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}_2(\mathbb R)\otimes\operatorname{Cl}_{q,p}(\mathbb R)
\operatorname{Cl}_{p+1,q+1}(\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}_2(\mathbb R)\otimes\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)
\operatorname{Cl}_{p,q+2}(\mathbb R)\cong\mathbb H\otimes\operatorname{Cl}_{q,p}(\mathbb R)

이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

역사[편집]

영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드(William Kingdon Clifford)가 도입하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. Clifford, W.K.. On the classification of geometric algebras.
  2. Clifford, W. K. (1878년). Applications of Grassmann’s extensive algebra. 《American Journal of Mathematics》 1 (4): 350–358. doi:10.2307/2369379. JSTOR 2369379. ISSN 0002-9327.

같이 보기[편집]