직합

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직합(直合, 영어: direct sum)은 추상대수학에서 여러 개의 아벨 군(혹은 가군)을 합쳐서 더 큰 아벨 군(혹은 가군)을 만드는 연산으로, 직곱의 쌍대 개념이다. 가군들의 직합은 여곱, 즉 그 가군들을 부분가군으로 포함하는 가장 작은 가군과 같다.

벡터공간 및 아벨 군의 직합[편집]

먼저 간단하게 두 벡터공간의 직합 및 두 아벨 군의 직합을 정의해 보자. 더 일반적인 경우는 그 아래에서 다룬다.

벡터공간[편집]

V와 W가 K 상의 벡터공간일 때, 두 공간의 데카르트 곱 V × W에 연산을 정의해서 K 상의 벡터공간으로 만들자. 임의의 V의 원소 v, v1, v2와 W의 원소 w, w1, w2 및 K의 원소 α에 대해,

  • (v1, w1) + (v2, w2) = (v1 + v2, w1 + w2)
  • α(v, w) = (αv, αw)

로 정의하면 이는 벡터공간이 되며, 이를 V와 W의 '직합'이라 한다. 이를 기호로는 V \oplus W로 표시한다.

V ⊕ W의 부분공간 V × {0}은 V와 동형이며, 많은 경우 이를 V와 같은 것으로 취급한다. ({0} × W와 W의 경우도 마찬가지.) 이렇게 하면 V ⊕ W의 모든 원소는 V의 원소 하나와 W의 원소 하나의 합으로 일의적으로 나타낼 수 있다. V ⊕ W의 차원은 V의 차원과 W의 차원을 합한 것 같다. 이 정의는 유한개의 벡터공간들의 직합으로 간단히 일반화할 수 있다.

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