외적

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수학에서 외적(外積)은 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 내적(內積)과는 달리 연산의 결과가 벡터이기 때문에 벡터곱(vector product)이라고 불리기도 한다. 외적은 물리학의 각운동량, 로렌츠 힘등의 공식에 등장한다.

[편집] 정의

두 벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 의 외적은 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 $\mathbf{a} \and \mathbf{b}$ 라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf\hat{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta$

식에서 $θ$ 는 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 이루는 각을 나타내며, $\mathbf\hat n$ 은 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다.

위 정의에서의 문제점은 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, $\mathbf\hat n$ 이 수직이면, $-\mathbf\hat n$ 도 수직이다.

어느 것을 두 벡터의 외적으로 할 것인가는 벡터공간의 방향성(orientation)에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 는, $\mathbf{a, b, a \times b}$ 가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 외적은 유사벡터로 분류된다.

외적을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.

외적의 정의

[편집] 성질

a, b, c ∈ R³, α ∈ R이라 하자.

; 반대칭성 : a×b = -b×a

교환법칙이 성립하지 않음에 주의하자.

; 스칼라곱에 대한 선형성 : (αa)×b = a×(αb) = α(a×b).

; 벡터의 덧셈에 대한 분배법칙 : a×(b + c) = a×b + a×c

; 스칼라 삼중곱 : $(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}$

; 벡터 삼중곱 또는 라그랑주 공식 : a×(b×c) = b(a×c)-c(a×b)

; 벡터곱의 크기 : ||a×b||² = (a·a)(b·b)-(a·b)²

||a×b|| = ||a|| ||b|| sin θ

여기서 θ는 a로부터 b까지의 각도이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적으로 생각할 수 있다.

; 야코비 항등식 :a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0

; 수직

a×b ⊥ a 이고 a×b ⊥ b이다.

; 두 벡터의 평행성 확인

a와 b가 모두 0벡터가 아닐 때, a×b = 0 이어야만 a, b는 서로 평행이고, 역도 성립한다.

; 유클리드 공간의 단위벡터의 외적

유클리드 공간의 단위벡터 i, j, k 는 주어진 직교좌표계에서 다음 관계를 만족한다.

i×j = k, j×k = i, k×i = j

이 식을 이용해, 외적의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다.

$\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k = [a_1, a_2, a_3]$

$\mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k = [b_1, b_2, b_3]$

로 표기할 때,

$\mathbf a \times \mathbf b = [a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1]$

위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식을 이용하여 간단히 쓸 수 있다.:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}$

따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 내적과 외적으로 쓸 수 있다.

det(a,b,c) = a·(b×c).

; 사원수와 벡터곱

외적은 또한 사원수의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 외적에 대한 i, j, k에 대한 관계가 사원수의 연산에서 i, j, k가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터

[a 1, a 2, a 3]

가 사원수

a 1 i + a 2 j + a 3 k

를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 외적과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 내적값 × -1과 같게 된다.) 사원수의 연산과 벡터 연산의 관계에 대해서는 사원수와 공간 회전 항목을 보라.

; 리대수

분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로서, R³에서의 벡터의 합과 벡터곱이 리대수를 이룸을 알 수 있다.

[편집] 응용

외적은 벡터 미분 연산인 컬(curl)에서 쓰이고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로렌츠 힘의 공식에 등장하며, 토크와 각운동량의 정의에도 나온다.

[편집] 고차원에서의 외적

7차원 벡터 공간의 외적도 4원수(quaternion)의 방법을 8원수(octonion)에 적용하여 얻어질 수 있다.

7차원 공간의 외적은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 외적과 공유한다.

다음과 같은 의미에서 bilinear: x×(a y + b z) = a x × y + b x × z and (a y + b z) × x = a y × x + b z × x
반교환 (anti-commutative): x×y + y×x = 0
x와 y 모두에 수직: x·(x×y) = y·(x×y) = 0
야코비 항등식이 성립한다. x×(y×z) + y×(z×x) + z×(x×y) = 0
||x×y||² = ||x||²||y||²-(x·y)²

[편집] 관련 항목

오른손 법칙

외적

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목차

[편집] 정의

[편집] 성질

[편집] 응용

[편집] 고차원에서의 외적

[편집] 관련 항목

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