외적

이 문서는 벡터끼리 곱하면 행렬을 얻게 되는 ‘외적’(outer product)에 관한 것입니다. 벡터끼리 곱하면 벡터를 얻게 되는 ‘외적’(cross product)에 대해서는 벡터곱 문서를 참고하십시오.

선형대수학에서 외적(外積, outer product)이란 벡터의 텐서곱을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

정의

행렬에서의 정의

두 벡터의 외적 $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$은 $\mathbf {u} \mathbf {v} ^{T}$와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, $\mathbf {u}$은 실수공간 $\mathbf {R} ^{m}$에서 정의되는 $m\times 1$ 열벡터, $\mathbf {v}$는 $\mathbf {R} ^{n}$에서 정의되는 $n\times 1$ 열벡터를 말한다. 예를 들어, $m=4$, $n=3$인 경우 .

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}$

와 같이 외적을 쓸 수 있다.

좀 더 복잡한 복소수공간 $\mathbf {C} ^{m}$과 $\mathbf {C} ^{n}$에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산 $\mathbf {v} ^{T}$ 대신에 복소켤레전치 $\mathbf {v} ^{\dagger }$를 사용해

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }$

로 정의된다.

내적과의 비교

만약 $m=n$이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

$\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {v} ^{\dagger }\mathbf {u}$

이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라($1\times 1$ 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 공간의 내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

추상적 정의

주어진 벡터 $v\in V$와 코벡터 $w^{*}\in W^{*}$의 텐서곱 $v\otimes w^{*}$은 동형사상 $\mathrm {Hom} (W,V)=W^{*}\otimes V$하의 사상 $\ A\colon W\to V\,$을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 $w\in W$에 대해

$A(w)\,=\,w^{*}(w)v$

로 정의된다. 여기서 $h>w$로 계산된 $w^{*}$로 $v$와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은 $\ w^{*}\colon W\to K\,$ 와 $\ v\colon K\to V\,$ 의 합성이다.

내적과의 비교

만약 $\ W=V\,$이면, 코벡터 $w^{*}\in V^{*}$와 벡터 $v\in V$를 $V$와 $V$의 쌍대의 쌍대연산 $(w^{*},v)\mapsto w^{*}(v)$를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

3차원 공간에서 벡터곱과의 관계

여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간 $\mathbf {R} ^{3}$에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 $w^{\mathbf {a} }=(w^{1},w^{2},w^{3})$와 $v^{\mathbf {a} }=(v^{1},v^{2},v^{3})$의 외적은 다음과 같다.

$w^{\mathbf {a} }\otimes v^{\mathbf {b} }=w^{\mathbf {a} }v^{\mathbf {b} }$

여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

$(w^{\mathbf {c} }\times v^{\mathbf {d} })^{\mathbf {a} }=[*\left(w^{\mathbf {c} }v^{\mathbf {d} }\right)]^{\mathbf {a} }=g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }$

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, $g^{\mathbf {ab} }=\delta ^{\mathbf {ab} }$이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,

${\begin{aligned}g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }&=\delta ^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }\\&=\delta ^{\mathbf {ab} }\left(\epsilon _{123}e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}\right)v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }\end{aligned}}$

여기서 $e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}$를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

$e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3}=e_{\mathbf {b} }^{1}e_{\mathbf {c} }^{2}e_{\mathbf {d} }^{3}+e_{\mathbf {c} }^{1}e_{\mathbf {d} }^{2}e_{\mathbf {b} }^{3}+e_{\mathbf {d} }^{1}e_{\mathbf {b} }^{2}e_{\mathbf {c} }^{3}-e_{\mathbf {d} }^{1}e_{\mathbf {c} }^{2}e_{\mathbf {b} }^{3}-e_{\mathbf {b} }^{1}e_{\mathbf {d} }^{2}e_{\mathbf {c} }^{3}-e_{\mathbf {c} }^{1}e_{\mathbf {b} }^{2}e_{\mathbf {d} }^{3}$

이다. 그리고 여기에 $v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }$를 곱하면

$(e_{\mathbf {b} }^{1}\wedge e_{\mathbf {c} }^{2}\wedge e_{\mathbf {d} }^{3})v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }=e_{\mathbf {b} }^{1}(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e_{\mathbf {b} }^{2}(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e_{\mathbf {b} }^{3}(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})$

되고 마지막으로 $\delta ^{\mathbf {ab} }\epsilon _{123}$을 곱하면

$g^{\mathbf {ab} }\epsilon _{\mathbf {bcd} }v^{\mathbf {c} }w^{\mathbf {d} }=e_{1}^{\mathbf {b} }(v^{2}w^{3}-v^{3}w^{2})+e_{2}^{\mathbf {b} }(v^{3}w^{1}-v^{1}w^{3})+e_{3}^{\mathbf {b} }(v^{1}w^{2}-v^{2}w^{1})$

이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.