행렬

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행렬의 특정 성분은 문자에 두 개의 첨자를 붙여서 보통 표시한다. 예를 들어, a2,1 는 행렬 A의 2행 1열에 위치한 원소를 가리킨다.

수학에서, 행렬(行列, matrix)은 나 기호, 수식 등을 네모꼴로 배열한 것으로, 괄호로 묶어 표시한다. 행렬의 각 항들은 원소(elements) 또는 성분이라고 한다. 여섯 개의 원소를 가진 행렬을 예로 들면 다음과 같다.

\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 55 & -6 \end{bmatrix}.

같은 크기의 행렬이면 대응하는 원소끼리 서로 더하거나 뺄 수 있다. 행렬을 하는 방법은 좀 더 복잡하며, 앞선 행렬의 열의 수와 뒤선 행렬의 행의 수가 같을 때만이 곱셈이 정의된다. 행렬은 주로 선형 변환을 표시하는 데 적용된다. 선형 변환이란 f(x) = 4x 과 같은 선형 함수를 일반화한 것으로, 삼차원 공간 벡터의 회전 등이 선형 변환이다. R이 회전 행렬, v이 점의 위치를 나타내는 열벡터(한 개의 열로 된 행렬)라고 하면, 그 곱 Rv은 회전 후의 위치를 나타내는 열벡터가 된다. 두 행렬의 곱은 두 개의 선형 변환으로 구성된 행렬이 되는 것이다. 행렬은 또한 선형연립방정식을 풀이하는 데도 적용된다. 행렬이 정사각행렬일 경우에는 그 행렬식을 계산함으로써 몇 가지 성질을 알아낼 수 있는데, 예를 들어 행렬식을 계산한 값이 0이 아니라면 그 행렬은 역행렬을 가진다고 말할 수 있다. 선형 변환에 대해서는 고유벡터라 불리는 행렬과 그 고윳값을 찾아냄으로서 간단히 기하학적 통찰을 얻어내기도 한다.

행렬은 과학의 곳곳에서 그 응용 분야가 발견된다. 물리학에서는 전기 회로, 광학, 양자 역학 등에서 쓰이고, 컴퓨터 그래픽스에서는 3차원 이미지를 2차원 평면에 투영하거나 사실적인 움직임을 그려내기 위해서 사용한다. 행렬 미적분학의 발견으로 미분이나 지수 함수 같은 고전 해석학적 개념을 더 높은 차원으로 일반화시키기도 했다.

수치 해석학의 한 분과에서는 몇 세기 전부터 수학자들이 관심가져 왔던 더 효율적인 행렬 계산법 알고리즘을 개발하는 데 헌신하고 있다. 행렬 분해법(Matrix decomposition methods)은 행렬의 계산을 이론과 실응용 부문 모두에서 단순화시켰고, 특정한 구조의 행렬에 맞춤화된 알고리즘(예: 희소행렬, 대각행렬 등)은 유한요소법 및 다른 계산 분야에 진척을 가져왔다. 행성 이론이나 원자론에서는 무한 행렬도 등장하는데, 함수의 테일러 전개에 작용하는 미분 연산자의 행렬이 그 예다.

정의[편집]

행렬이란 식이나 기호, 간단히는 정수 따위를 네모꼴로 배열한 것이다. 예를 들어

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

는 행렬이다. 행렬을 표시하기 위한 괄호는 위에서와 같이 주로 대괄호 []나 소괄호 ()를 사용하며, 행렬을 나타내는 기호는 특별히 수와 구별하기 위해 굵은 글씨체를 자주 사용한다. 행렬의 가로줄을 ‘행’(行)이라고 하고, 세로줄을 ‘열’(列)이라고 한다. 또한 행 또는 열들을 분리하여 각각 하나의 행렬로 쓴 것을 ‘행벡터’(row vector) 또는 ‘열벡터’(column vector)라 한다. 예를 들어 위의 행렬에서는

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

가 행벡터,

\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}

가 열벡터가 된다.

위의 예에선 행렬이 두 개의 행과 세 개의 열로 이루어져 있음을 볼 수 있는데 행과 열의 수를 특별히 강조하여 나타낼 때는 2×3 행렬이라고 부른다. 일반적으로, 어떤 행렬이 m개의 행과 n개의 열로 구성되어 있으면 m×n 행렬이라고 부른다. 그리고 행렬의 i번째 행, j번째 열에 있는 수를 행렬의 (i,j) 성분 또는 (i,j) 항이라 한다. 행벡터는 1×n 행렬, 열벡터는 m×1 행렬이라고 할 수 있다. 행 수와 열 수가 같은 항, 즉 (i, i)번째 항은 ‘대각항’(diagonal entry)이라고도 한다.

특별히, 행과 열의 수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)이라고 한다. 행렬의 크기를 나타내줄 때는 ‘n차’ 정사각행렬이라고 부른다.

표시법[편집]

행렬은 스칼라와 구별하기 위해 주로 굵은 글씨체의 영문 대문자를 사용하여 나타낸다. 소문자는 행렬의 성분을 나타낼 때 쓰인다. 즉, 행렬 \mathbf{A}(i,j) 성분은 a_{ij}로 나타낸다. 다른 표시법으로 함수처럼 이를 나타내는 \mathbf{A}[i,j], 그냥 단순히 아래 첨자를 추가하는 \mathbf{A}_{ij}, 소문자 대신 굵지 않은 글씨체를 사용하는 {A}_{ij}도 있다. 행렬에서 특별히 성분을 강조하여 나타낼 때는

\mathbf{A} = ( a_{ij} ) _{i=1,\, \cdots,\, m\,,\,j=1 ,\, \cdots,\, n}
\mathbf{A} = ( a_{ij} ) _{m\times n}
\mathbf{A} = ( a_{ij} )

같은 표기가 자주 쓰인다.

기본 연산[편집]

상등[편집]

두 행렬이 같다는 것은 행렬의 크기가 같고, 각각의 서로 대응되는 성분들이 같은것을 말한다. 즉, 두 a×b 행렬 A, m×n 행렬 B에 대해서,

  • a = m, b = n
  • Aij = Bij

이면 두 행렬이 같다고 하고, A = B라고 쓴다. 이 관계는

이 성립하므로 동치관계이다.

덧셈과 뺄셈[편집]

주어진 두 m×n 행렬 AB에 대해 덧셈 A+B는 다음과 같이 각 성분의 합으로 정의한다.

(\mathbf{A}+\mathbf{B})_{ij} = \mathbf{A}_{ij} + \mathbf{B}_{ij}\

마찬가지로 주어진 두 m×n 행렬 AB에 대해 뺄셈 A-B는 다음과 같이 각 성분의 합으로 정의한다.

(\mathbf{A}-\mathbf{B})_{ij} = \mathbf{A}_{ij} - \mathbf{B}_{ij}\

예를 들어,


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 7+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 12 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}
.

스칼라배[편집]

주어진 m×n행렬 A스칼라 k를 곱하는 것 kA는 다음과 같이 A의 각 성분에 스칼라 k를 곱하는 것으로 정의한다.

 (k \mathbf{A})_{ij} = k \mathbf{A}_{ij}\

예를 들어,

2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\
    2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}
.

덧셈과 스칼라곱의 성질[편집]

ab를 스칼라, A, B, C를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다.

  • A + B = B + A
  • A + (B + C) = (A + B) + C
  • (ab)A = a(bA)
  • (a + b)A = aA + bA
  • (a - b)A = aA - bA
  • a(A + B) = aA + aB
  • a(A - B) = aA - aB

곱셈[편집]

행렬 AB를 곱하여 행렬 AB를 얻는 것을 나타내는 그림.

행렬 간의 곱은 모든 경우에 대해서 정의되는 것이 아니라 다음과 같은 특수한 경우에만 정의한다. 주어진 m×k행렬 A, k×n행렬 B의 곱은 m×n행렬이 되고 각 성분은 다음과 같이 A의 행벡터와 B의 열벡터의 내적으로 정의한다.

(\mathbf{AB})_{ij} = \sum_{l=1}^{k} \mathbf{A}_{il} \mathbf{B}_{lj} 이다.

예를 들어,


  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{bmatrix}
\cdot
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
     (1 \cdot 3  +  0 \cdot 2  +  2 \cdot 1) & (1 \cdot 1   +   0 \cdot 1   +   2 \cdot 0) \\
    (-1 \cdot 3  +  3 \cdot 2  +  1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1   +   3 \cdot 1   +   1 \cdot 0) \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{bmatrix}
.

곱셈의 성질[편집]

a를 스칼라, A, B, C를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다.

  • A(BC) = (AB)C
  • A(B + C) = AB + AC
  • (B + C)A = BA + CA
  • A(B - C) = AB - AC
  • (B - C)A = BA - CA
  • a(BC) = (aB)C = B(aC)

행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는 비가환 곱이다. ABBA가 모두 정의된다고 해도, 이 두 결과는 일반적으로 같지 않다.

ABBA

다만, 특수한 조건을 만족하는 경우에는 교환법칙이 성립한다. 다음과 같은 조건을 만족할 때 행과 열의 갯수가 같은 정사각형 모양의 행렬 AB에 대해 곱셈의 교환법칙이 성립한다.[1]

  • A + B = AB 이면  AB=BA 이다.
  •  AB=kE (E는 단위행렬)이면  AB=BA 이다.
  •  AB=B^n 이면  AB=BA 이다.
  •  B=pA^n + qE(p, q는 실수) 이면  AB=BA 이다.
  •  aA+bB=E 이면  AB=BA 이다.

위의 조건들은 충분조건이다. 즉, 정사각형 모양의 행렬 AB가 위의 조건을 만족할 때 곱셈의 교환법칙이 성립하지만, 곱셈의 교환법칙이 성립하는 모든 행렬이 위의 조건을 만족하는 것은 아니다.[1]

일반적으로 곱셈의 교환조건을 만족하는 정사각형 모양의 행렬 AB는 다음의 교환법칙을 만족하고 그 역도 만족한다. 즉 다음의 식에 대해 필요충분조건을 이룬다.[1]

(A-kE)(B-kE)=(B-kE)(A-kE)

전치[편집]

행렬의 전치란 행과 열을 바꾸는 것으로, 행렬 A의 전치는 AT로 나타낸다. 즉 주어진 m×n행렬 A의 전치는 다음과 같이 정의한다.

 (\mathbf{A}^T)_{ij} = \mathbf{A}_{ji}\

여기서 ATm×n행렬이 아니라 n×m행렬임에 유의하자.

예를 들어,


  \begin{bmatrix}
    9 & 8 & 7 \\
    -1 & 3 & 4
  \end{bmatrix}^T
=
  \begin{bmatrix}
    9 & -1 \\
     8 & 3 \\
    7 & 4
  \end{bmatrix}
.

전치의 성질[편집]

a를 스칼라, A, B를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다.

  1. (AT)T = A
  2. (A + B)T = AT + BT
  3. (A - B)T = AT - BT
  4. (aA)T = aAT
  5. (AB)T = BTAT

행벡터와 열벡터의 연산[편집]

fdfg

정사각행렬의 연산[편집]

대각합[편집]

대각합(trace)이란 정사각행렬의 대각항들의 원소를 전부 더하는 것을 말한다. 즉, 어떤 n차 정사각행렬 A의 대각합은 다음과 같다.

\mathrm{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n {\mathbf{A}_{ii}}

대각합의 성질[편집]

c를 스칼라, A, B를 크기가 같은 정사각행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다.

  1. tr(AT) = tr(A)
  2. tr(cA) = c tr(A)
  3. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  4. tr(A - B) = tr(A) - tr(B)
  5. tr(AB) = tr(BA)

행렬식[편집]

행렬식(determinant)det(A) 또는 |A|로 표시하며 선형 행렬 A의 크기를 나타낸다. 행렬 2x2 행렬 A가

A=\begin{bmatrix}a&b\\
c&d\end{bmatrix}

와 같이 주어진다면, det(A)는

\det(A)=ad-bc

와 같이 정의된다.

특수한 행렬[편집]

영행렬이란 행렬의 모든 원소의 값이 0인 행렬을 말한다. 영행렬은 덧셈에 대한 항등원이다.

 \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
  \end{bmatrix}

단위행렬은 정사각행렬 중에서 행 번호와 열 번호가 같은 위치의 값은 1이고, 나머지는 0을 가지는 행렬을 말한다. 이 행렬은 곱셈에 대한 항등원이다.

 \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
  \end{bmatrix}

역행렬이란 어떤 행렬의 곱셈에 대한 역원이다.

각주[편집]