외대수

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n개의 벡터 (u, v, w)로 부터 n-벡터 (평행육면체)를 얻는 쐐기곱의 기하학적 해석. 여기서 n = 1, 2, 3 에 대해 n = 등급[1]이다. "도는 것"은 방향성을 보여준다.[2]

수학에서 벡터의 외적[3]또는 쐐기곱 (exterior product, wedge product)은 유클리드 기하학에서 넓이, 부피, 그리고 그들의 고차원적 개념을 만드는데 쓰인다. 두 벡터 u 와 v 의 쐐기곱 u ∧ v이중벡터라고 불리고 exterior square라 불리는 공간을 이룬다, 이는 기하학적인 벡터 공간으로 본래의 벡터 공간과는 다른 것이다. u ∧ v크기[4]는 변 u 와 v을 가진 평행사변형의 넓이이다. 이는 또한 두 벡터의 벡터곱을 통해 계산될 수 있다. 벡터곱과 마찬가지로 쐐기곱은 반가환이어서 모든 uv에 대해서 uv = −(vu)이다. 이중벡터를 시각화하는 하나의 방법은 모두가 같은 평면, 같은 넓이, 그리고 경계에서 같은 방향성을 가진 평행사변형들의 모임으로 보는 것이다—시계방향이나 반시계방향.

이같은 방법으로 두 벡터의 쐐기곱은 2-blade로 불린다. 더욱 일반적으로 k개 벡터의 쐐기곱은 k-blade라고 부른다. 이들은 k-th exterior power라고 불리는 기하학적 공간을 이룬다. 3차원에서 벡터의 스칼라 삼중곱의 크기가 그 벡터로 펼친 평행육면체의 부피를 말하는 것처럼 k-blade의 크기는 각 변이 주어진 벡터인 k-차원 평행체의 부피로 나타난다.

외대수(exterior algebra), 또는 헤르만 그라스만의 이름을 딴 그라스만 대수(Grassmann algebra)[5]는 곱이 쐐기곱으로 정해져 있는 대수적 체제이다. 쐐기곱은 기하학적 문제에 답을 내는 대수적 환경을 제공한다. 예를 들어 blade는 구체적인 기하학적 해석이 있으므로 외대수의 대상은 명확한 규칙에 따라 조작 될 수 있다. 외대수는 단순히 k-blade들을 포함하는 것이 아니라 k-blade의 합을 포함한다. 그러한 합을k-벡터라고 부른다[6]. k-blade는 단순한 벡터의 곱이기 때문에 단순 요소로 불린다. k-벡터의 rank는 합하여 그것을 이루는 최소한의 단순 요소의 수로 정의된다. 외적은 외대수로 확장되기 때문에 어떤 두 요소를 곱하는 것을 이해할 수 있다. 이 곱을 가지고 외대수는 결합대수를 이룬다. 즉 임의의 α, β, γ에 대해서 α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ가 성립한다. k-벡터의 차수는 k이며 이는 k개의 벡터의 곱의 합이라는 의미이다. 다른 차수의 요소가 곱해지면 다항식의 곱셈처럼 차수가 더해진다. 이는 외대수가 등급대수임을 나타낸다.

예제[편집]

평면에서의 넓이[편집]

두 변의 좌표로 만든 행렬의 행렬식의 관점에서 평행사변형의 넓이.

평면 R2 는 한 쌍의 단위벡터로 이루어진 기저를 갖추고 있다.

{\mathbf e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad {\mathbf e}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.

요소로 나타낸 다음의 벡터

{\mathbf v} = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} = a {\mathbf e}_1 + b {\mathbf e}_2, \quad {\mathbf w} = \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} = c {\mathbf e}_1 + d {\mathbf e}_2

R2 에 주어졌다고 가정하자. vw 를 변으로 사용하는 유일한 평행사변형이 존재한다. 평행사변형의 넓이 는 표준적인 행렬식 공식을 통해 정해진다.

\text{Area} = \left|\det\begin{bmatrix}{\mathbf v}& {\mathbf w}\end{bmatrix}\right| = \left|\det\begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}\right| = \left| ad - bc \right|.

이제 vw의 쐐기곱을 생각하면:


\begin{align}
{\mathbf v}\wedge {\mathbf w} & = (a{\mathbf e}_1 + b{\mathbf e}_2)\wedge (c{\mathbf e}_1 + d{\mathbf e}_2) \\
& = ac{\mathbf e}_1\wedge{\mathbf e}_1+ ad{\mathbf e}_1\wedge {\mathbf e}_2+bc{\mathbf e}_2\wedge {\mathbf e}_1+bd{\mathbf e}_2\wedge {\mathbf e}_2 \\
& =(ad-bc){\mathbf e}_1\wedge{\mathbf e}_2
\end{align}

첫 단계에서 쐐기곱에 대해 분배법칙을 사용하였고 마지막에 쇄기곱의 반가환성e2e1 = −e1e2을 사용했다. 특히 마지막 표현의 계수는 행렬 [v w]의 행렬식이다. 이것이 양수 혹은 음수라는 사실은 직관적으로 vw가 그들이 정의하는 평행사변형에서 반시계방향이나 시계방향으로 정렬된 것을 의미한다. 그러한 넓이를 평행사변형의 signed area로 부른다. signed area의 절대값은 일반적인 넓이와 같고 부호는 그 방향을 나타낸다.

이 계수가 signed area를 나타내는 것은 우연이 아니다. 사실 넓이를 대수적으로 공리화한다면 외적이 signed area를 나타낸다는 것을 보이는 것은 간단하다. 자세하게, 만약A(v, w) 가 벡터 vw로 이루어진 평행사변형의 signed area를 나타낸다면 A는 다음과 같은 성질을 만족시켜야 한다.

  1. 임의의 실수 jk 에 대하여 A(jvkw) = j k A(vw), 어느 쪽의 변이든 크기를 바꾸면 그만큼 넓이가 바뀌므로 (또한 한 변의 방향(direction)을 반대로 바꾸면 편행사변형의 방향(orientation)이 바뀌므로).
  2. A(v,v) = 0, v으로 결정되는 퇴화된 평행사변형 즉 선분의 넓이는 0 이므로.
  3. A(w,v) = −A(v,w), vw읠 역할을 바꾸는 것은 편행사변형의 방향을 바꾸므로.
  4. 실수 j에 대하여 A(v + jw,w) = A(v,w), vw를 더하는 것은 평행사변형의 밑변이나 높이 아무 것에도 영향을 주지 않아 결국 넓이는 보존되므로.
  5. A(e1, e2) = 1, 단위 정사각형의 넓이는 1이므로.

마지막 성질을 제외하고 외적은 위와 같은 넓이의 성질을 만족한다.[7]

벡터곱과 삼중곱[편집]

쐐기곱 (연보라색 평행사변형)과 관련지어 나타낸 벡터곱 (파란색 벡터). 평행한 단위 벡터 (빨간색)의 길이에 대한 벡터곱의 길이는 기준 평행사변형 (연한 빨강색)의 넓이에 대한 쐐기곱의 넓이가 된다.

R3 의 벡터에 대해서 쐐기곱은 벡터곱삼중곱에 밀접하게 연관되어 있다.표준적 기저{e1e2e3}를 사용하여, 한 쌍의 벡터에 대한 쐐기곱

 \mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3

그리고

 \mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3

 \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2) + (u_3 v_1 - u_1 v_3) (\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3)

위에서 {e1e2, e3e1, e2e3}는 삼차원 공간 Λ2(R3)의 기저이다. 위의 계수들은 벡터곱의 일반적인 정의에서와 같다. 유일한 차이는 쐐기곱이 단순한 벡터가 아니라 이차원 벡터(2-vector) 라는 것이다.

세 번째 벡터를 가져와서

 \mathbf{w} = w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3 \mathbf{e}_3,

세 벡터의 외적은

 \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3)

e1e2e3는 일차원 공간 Λ3(R3)의 기저가 된다. 스칼라 계수는 세 벡터의 삼중곱이 된다.

삼차원에서의 벡터곱과 삼중곱은 기하학과 대수학적으로 둘 다 해석이 가능하다. 벡터곱 u × vuv에 둘 다 수직이며 크기는 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이와 같은 벡터로 해석할 수 있다. 이는 또한 uv로 이루어진 행렬의 소행렬식들로 이루어진 벡터로 해석할 수도 있다. u, v, w의 삼중곱은 기하학적으로는 (부호가 붙은)부피가 된다. 이는 대수적으로 u, v, w으로 이루어진 행렬의 행렬식이 된다. 삼차원에서의 쐐기곱은 비슷한 해석을 가능케 한다. 사실 양의 방향으로 놓인 정규직교기저의 존재하에서, 쐐기곱은 이러한 개념을 고차원으로 확장한 것이다.

형식적 정의와 대수적 성질[편집]

K 위의 벡터 공간 V 에서의 외적 Λ(V)는 xVxx 의 원소로 만들어진 양측 아이디얼(two-sided ideal) I 에 의해 텐서 대수몫대수로 정의된다.[8] 기호로는

\Lambda(V) := T(V)/I.\,

Λ(V)의 두 원소간의 외적 ∧은 다음과 같이 정의된다.

\alpha\wedge\beta = \alpha\otimes\beta \pmod I.

쐐기곱의 반가환성[편집]

외적은 원소 V 에 대하여 교대적(alternating)이며, 이는 모든 xV 에 대하여 xx = 0임을 의미한다. 따라서 이 곱은V 의 원소에 대해 반가환이고, x, yV를 가정하면

0 = (x+y)\wedge (x+y) = x\wedge x + x\wedge y + y\wedge x + y\wedge y = x\wedge y + y\wedge x

따라서

 x \wedge y = - y \wedge x.

K표수가 2가 아니라면 반대로 곱의 반가환성으로부터 곱의 교대성이 유도된다.

더욱 일반적으로는, 만약 x1, x2, ..., xkV 의 원소이며, σ 가 정수들 [1,...,k]의 치환이면

x_{\sigma(1)}\wedge x_{\sigma(2)}\wedge\dots\wedge x_{\sigma(k)} = \operatorname{sgn}(\sigma)x_1\wedge x_2\wedge\dots \wedge x_k,

여기서 sgn(σ)는 치환의 부호이다.[9]

참조[편집]

  1. R. Penrose (2007). 《The Road to Reality》. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1
  2. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). 《Gravitation》. W.H. Freeman & Co, 83쪽. ISBN 0-7167-0344-0
  3. 오늘날 외적은 보통 cross product 를 가리키는 말로 쓰이고 있어서 혼동의 여지가 있다.
  4. 엄격히 말해, 크기는 부차적 구조에, 즉유클리드 공간의 벡터에 의존한다. 우리는 일반적으로 여기서 개념을 발전시키는 데에 필요할 때를 제외하고 이 구조를 사용하지 않기로 하자.
  5. Grassmann (1844)은 이들을 '확장된' 대수로 소개했다(cf. Clifford (1878)). 그는 단어äußere(영어의 outer, 또는 exterior의 뜻을 가진)를 오직 그가 정의한produkt를 가리키는 데 사용했다. 오늘날 exterior product로 불리는 그것을 아마도 선형대수학에서 정의된 외적(outer product)과 구분하기 위해서 일 것이다.
  6. k-벡터(k-vector)라는 용어는 비슷한 말인 4-vector 와 헷갈리지 말아야 한다. 소수의 저자는 혼란을 막기 위해 k-벡터 대신 k-멀티벡터(k-multivector)를 사용한다.
  7. This axiomatization of areas is due to Leopold Kronecker and Karl Weierstrass; see 틀:Harvtxt. For a modern treatment, see 틀:Harvtxt. For an elementary treatment, see 틀:Harvtxt.
  8. This definition is a standard one. See, for instance, 틀:Harvtxt.
  9. A proof of this can be found in more generality in 틀:Harvtxt.