일차독립

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일차독립, 선형독립(linear independence)이란 특정 벡터의 모임 중 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 선형결합으로 만들어질 수 없는 경우를 말한다. 만약 어떤 벡터가 다른 벡터의 선형결합으로 이루어질 수 있다면, 일차종속, 선형종속(linear dependence)이라고 한다.

정의[편집]

벡터공간의 유한개의 원소 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots \mathbf{v}_n가 있을 때,

a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}

의 식을 만족하는 계수 a_1, a_2, \cdots a_n이 존재하고 적어도 하나의 계수가 0이 아닐 때 이 벡터들은 일차 종속이다. 만약 a_1, a_2, \cdots a_n의 해가 계수가 동시에 모두 0인 경우밖에 없다면 일차 독립이라고 한다.

더 일반적으로, 벡터 \mathbf{v}_i의 집합 I이 있을 때, I의 유한 부분집합 J에 대해

 \sum_{j \in J} a_j \mathbf{v}_j = \mathbf{0} \,

a_j가 0이 아닌 경우가 존재할 때, 이 벡터들은 일차 종속이라고 한다. 만약 a_j가 모두 0인 경우밖에 존재하지 않는다면 일차 독립이라고 한다.