아핀 독립 집합

아핀 기하학에서 아핀 독립 집합(affine獨立集合, 영어: affinely independent set)은 모든 점이 남은 점들로 생성된 부분 아핀 공간에 속하지 않는 아핀 공간 속 점들의 집합이다.

정의

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 부분 집합 $I\subseteq A$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $I$를 $A$의 아핀 독립 집합이라고 한다.

• $I=\varnothing$이거나, $(i'-i)_{i'\in I\setminus \{i\}}$가 $V(A)$의 일차 독립 집합이 되는 $i\in I$가 존재한다.
• 임의의 $i\in I$에 대하여, $(i'-i)_{i'\in I\setminus \{i\}}$는 $V(A)$의 일차 독립 집합이다. (여기서 $V(-)$는 주어진 아핀 공간의 평행 이동으로 구성된 벡터 공간을 나타낸다.)
• 임의의 $i\in I$에 대하여, $i\not \in \operatorname {Aff\,Span} _{K}(I\setminus \{i\})$이다. (여기서 $\operatorname {Aff\,Span} _{K}(-)$는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 아핀 공간을 나타낸다.)

아핀 독립 집합이 아닌 부분 집합을 아핀 종속 집합(affine從屬集合, 영어: affinely dependent set)이라고 한다. 이와 유사하게 아핀 독립 중복집합(affine獨立重復集合, 영어: affinely independent multiset)과 아핀 종속 중복집합(affine從屬重復集合, 영어: affinely dependent multiset)을 정의할 수 있다.

성질

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 부분 집합 $I\subseteq V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $I$는 아핀 독립 집합이다.
• 임의의 서로 다른 원소 $i_{1},\dots ,i_{n}\in I$ 및 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K$에 대하여, 만약 $\lambda _{1}i_{1}+\cdots +\lambda _{n}i_{n}=0_{V}$이며 $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=0_{K}$라면, $0_{K}=\lambda _{1}=\cdots =\lambda _{n}$이다.

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 유한 부분 집합 $I\subseteq A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $I$는 아핀 독립 집합이다.
• $\operatorname {Aff\,Span} _{K}(I)$의 차원은 $|I|-1$이다.

예

벡터 공간의 모든 일차 독립 집합은 아핀 독립 집합이다. 아핀 공간 속의 공집합과 모든 한원소 집합, 두원소 집합은 아핀 독립 집합이다. 아핀 공간의 세원소 집합이 아핀 종속 집합일 필요충분조건은 공선점이다. 체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 두 점 $a,b\in A$에 대하여, $\{a,b\}$가 아핀 독립 중복집합일 필요충분조건은 $a\neq b$이다.

같이 보기

• 아핀 틀

참고 문헌

• Audin, Michèle (2003). 《Geometry》. Universitext (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939. 
• Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939. 
• Gallier, Jean (2011). 《Geometric Methods and Applications》. Texts in Applied Mathematics (영어) 38 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-9961-0. ISBN 978-1-4419-9960-3. ISSN 0939-2475. LCCN 2011929342.