가우스 소거법

가우스 소거법(Gaussian elimination)은 소거법을 정리해 놓은 방식이다. 약어로 G.E.라고도 쓴다. 선형대수학에서 가우스 소거법은 일차연립방정식(systems of linear equations)을 풀기 위한 알고리즘(algorithm)이다. 행렬의 계수와 가역행렬(역행렬)이 존재한다.

가우스 소거법의 과정

전진 소거법(Forward elimination)

• $\left\{ \begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ 4u &-& 6v && &=& -2 \\ -2u &+& 7v &+& 2w &=& 9 \end{matrix} \right.$

• 1. 첫째 식의 -2배를 둘째 식에 더한다.
  2. 첫째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.

• $\left\{ \begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ &-& 8v &-& 2w &=& -12 \\ && 8v &+& 3w &=& 14 \end{matrix} \right.$

• 1. 둘째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.

• $\left\{ \begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ &-& 8v &-& 2w &=& -12 \\ && && w &=& 2 \end{matrix} \right.$

후진 대입법(Backward substitution)

• $\left\{ \begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ &-& 8v &-& 2w &=& -12 \\ && && w &=& 2 \end{matrix} \right.$

• 1. 셋째 식이 w = 2임을 말한다.
  2. w를 둘째 식에 대입하여 v를 구하면 v = 1이다.
  3. 마찬가지로 v, w를 첫째 식에 대입하여 u를 구하면 u = 1이다.

각 식 앞에 있는 $2u, -8v, w$의 계수인 2, -8, 1을 피벗(pivot)이라고 부른다.

풀기 곤란한 경우

정칙(Nonsingular) 행렬일 경우의 예

(식 2와 3을 바꾸어 해결한다)

• $\begin{cases} 10u + 2v + -1w & = \ 27 \\ -3u + -6v + 2w & = \ -61.5 \\ u + v + 5w & = \ -21.5 \end{cases}$

비정칙(Singular) 행렬일 경우의 예

(해가 없는 경우도 있다.)

• $\begin{cases} u + v + w & = \ ? \\ 2u + 2v + 5w & = \ ? \\ 4u + 4v + 8w & = \ ? \\ \end{cases}$

• $\begin{cases} u + v + w & = \ ? \\ 3w & = \ ? \\ 4w & = \ ? \end{cases}$