단위행렬

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

선형대수학에서 크기 n단위행렬(單位行列)은 주대각선(왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는 대각선)이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는 n \times n 정사각행렬이다. 크기가 n인 단위행렬은 보통 I_n으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여 I로 쓰기도 한다.


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\ 
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

I_n의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.

A I_n = A   이고   I_n B = B이다.

이런 성질 때문에 단위행렬은 n \times n 행렬로 이루어진 단위 역할을 한다. 또한 n \times n 크기의 가역행렬로 이루어진 항등원이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)

또한 n \times n 행렬을 n차원 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환으로 보면, I_n은 그 기저와 관계없이 항등함수임을 알 수 있다.

단위행렬의 i번째 열은 단위벡터 e_i가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 고유벡터이며 각각의 고유값은 1이다. 이 고유값 1은 유일한 고유값이며 중복도는 n이 된다. 이로부터 단위행렬의 행렬식은 1이고 트레이스는 n임을 알 수 있다.