단위행렬

선형대수학에서 크기 $n$인 단위행렬(單位行列)은 주대각선(왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는 대각선)이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는 $n \times n$ 정사각행렬이다. 크기가 $n$인 단위행렬은 보통 $I_n$으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여 $I$로 쓰기도 한다.

$I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

$I_n$의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.

$A I_n = A$   이고   $I_n B = B$이다.

이런 성질 때문에 단위행렬은 $n \times n$ 행렬로 이루어진 환의 단위 역할을 한다. 또한 $n \times n$ 크기의 가역행렬로 이루어진 군의 항등원이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)

또한 $n \times n$ 행렬을 $n$차원 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환으로 보면, $I_n$은 그 기저와 관계없이 항등함수임을 알 수 있다.

단위행렬의 $i$번째 열은 단위벡터 $e_i$가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 고유벡터이며 각각의 고유값은 1이다. 이 고유값 1은 유일한 고유값이며 중복도는 $n$이 된다. 이로부터 단위행렬의 행렬식은 1이고 트레이스는 $n$임을 알 수 있다.