행렬식

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선형대수학에서 행렬식(行列式 ; determinant)은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수이다. 예를 들면, 2x2 행렬

A=\begin{bmatrix}a&b\\
c&d\end{bmatrix}

에 대해, 행렬식은

\det(A)=ad-bc

이 된다.

역사와 응용[편집]

역사적으로 행렬식(determinant)은 행렬보다 앞서 나온 개념으로, 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었다. 행렬식은 연립방정식이 유일한 해를 갖는지(행렬식이 0이 아닐 때)를 결정한다. 16세기지롤라모 카르다노가 2x2 행렬의 행렬식을, 100년 정도 후에는 고트프리트 라이프니츠가 2x2 이상의 행렬의 행렬식을 이런 식으로 사용했다.

행렬식은 가역행렬의 성질을 말해주며, 방정식의 근의 공식인 크래머공식에도 등장한다. 행렬식은 또한 행렬 A 의 고유치를 구하는 특성다항식에도 나온다. (특성다항식 p(x) = \det(A - xI_n)).

행렬식은 또한 정사각행렬의 각 열벡터를 R_n의 벡터로 파악하여, 순서있는 n개의 R_n 벡터에 대응하는 수라고 생각할 수도 있다. 이 때에 행렬식의 부호는 유클리드 공간의 기저(basis)의 향 (선형대수학)(orientation)을 정의한다고 할 수 있다.

행렬식은 벡터미적분학에서 부피를 계산하는 데에 쓰일 수도 있다. 실벡터들로 이루어진 행렬의 행렬식의 절대값은 그 벡터들을 각 변으로 갖는 평행육면체의 부피와 같다. 그 결과로, 선형변환 f:\, R_n \to R_n 가 행렬 A 로 표현되고, SR_n의 가측(可測: measurable) 부분집합일 때, f(S)의 부피는 |\det(A)| \cdot \operatorname{volume}(S) 로 주어진다. 일반적으로, 선형사상 f:\, R_n \to R_mm \times n 행렬 A 로 표현되고, R_n의 S 가 가측 부분집합일 때, f(S)n 차원의 부피는 \sqrt {\det(A^T A)} \cdot \operatorname{volume}(S) 로 주어진다.

정의와 계산[편집]

A = (A_{i,j}) 가 정사각행렬이라 하자.

1 x 1 행렬일 때,

\det(A) = A_{1,1}

2 x 2 행렬이면,

\det(A) = A_{1,1} \cdot A_{2,2} - A_{2,1} \cdot A_{1,2}

3 x 3 행렬에선 공식이 조금 복잡해진다.


\begin{align}
\det(A) = & A_{1,1} \cdot A_{2,2} \cdot A_{3,3} + A_{1,3} \cdot A_{3,2} \cdot A_{2,1} + A_{1,2} \cdot A_{2,3} \cdot A_{3,1} \\
        - & A_{3,1} \cdot A_{2,2} \cdot A_{1,3} - A_{1,1} \cdot A_{2,3} \cdot A_{3,2} - A_{1,2} \cdot A_{2,1} \cdot A_{3,3}
\end{align}

일반적인 n x n 행렬에 대해서 이야기하기 이전에 다음과 같은 것을 염두에 두자.

  • \det(I_n) = 1
  • \det(한 번 행을 바꾼 행렬) = - \det(원래 행렬)
  • 첫 행에 대해 선형적이다.
\begin{bmatrix}a\mathbf{r_1} + b\mathbf{r_2}\\...\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\mathbf{r_1}\\...\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}b\mathbf{r_2}\\...\end{bmatrix}

이 세 가지 성질을 가진 함수를 행렬식(determinant, 준말 det)이라고 정의한다. 이 성질이 2 x 2 행렬에서 성립함은 쉽게 알 수 있고, 또한 이는 각 n x n 행렬마다 유일하게 존재하는 함수임을 증명할 수 있다. 그 일반식은 고트프리트 라이프니츠의 라이프니츠 공식에 따라,

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} 
\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}

이 된다. 합은 {1, \cdots , n}의 모든 치환(permutation)인 \sigma 에 대해 이루어지고, \operatorname{sgn}(\sigma) 는 치환의 부호로 우치환(짝치환, even permutation)일 때 +1, 기치환(홀치환, odd permutation)일 때 -1의 값을 갖는다.


행열식을 구성하는 각 항의 부호는 원소 Aiσ(i) 에 대하여 A1σ(i)·A2σ(i)·A3σ(i).... 식으로 정렬 하였을때, σ(i)의 순열이 항등행렬에 대해 우치환/기치환 인가에 따라 ±가 결정된다.

ex) 2x2 행렬에서 행렬식은 A11·A22 - A12·A21 이다.

이때 A11·A22에서의 σ(i) 순열은 {1,2} 이므로 치환수 0 으로 우치환이다. 따라서 부호는 +가 된다.

A12·A21에서의 σ(i) 순열은 {2,1} 이므로 치환수 1 로 기치환이다. 따라서 부호는 - 가 된다.


위 공식은 n! 의 합을 포함하고 있어서, n > 3일 때는 실제적으로 사용하기 힘들다.

일반적으로, 행렬식은 가우스-요르단 소거법을 이용해 구할 수 있으며, 그 내용은 다음과 같다.

  • A 행렬이 삼각행렬이면, 즉 i > j일 때, 혹은 i < j일 때, A_{i,j} = 0이면, \det(A) = A_{1,1} A_{2,2} \cdots A_{n,n} = \prod_{i=1}^n A_{i,i}이다.
  • A 행렬의 두 열이나 두 행을 서로 바꿔서 B 행렬을 얻었다면, \det(B) = - \det(A)이다.
  • A 행렬에 상수 c를 곱하여 B 행렬을 얻었다면, \det(B) = c^n \cdot \det(A)이다.
  • A 행렬의 한 행이나 열에 상수배를 해서 다른 행이나 열에 더해서 B 행렬을 얻었다면, \det(B) = \det(A)이다.

성질[편집]

행렬식은 곱셈적 사상의 일종이다.

모든 정사각행렬 AB에 대해 \det(AB) = \det(A)\det(B) 이다.

n차 항등행렬 I에 대해 \det(rI) = r^n이므로 모든 n차 정사각행렬 A스칼라r에 대해 다음 식이 성립한다.

\det(rA) = r^n \det(A)

A역행렬이 존재하면 다음 식이 성립한다.

\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}

어떤 행렬과 그 행렬의 전치행렬은 같은 행렬식 값을 가진다.

\det(A) = \det(A^\mathrm{T})