행렬식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

선형대수학에서, 행렬식(行列式, 영어: determinant 디터미넌트[*])은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수의 하나이다. 대략, 정사각행렬로 나타내어지는 선형변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다.

역사[편집]

역사적으로 행렬식은 행렬보다 앞서 등장하였다. 행렬식은 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었고, 행렬식의 영어 이름 영어: determinant 디터미넌트[*]영어: determine 디터민[*](결정하다)에서 유래하였다. 행렬식은 연립방정식이 유일한 해를 갖는지(행렬식이 0이 아닐 때)를 결정한다. 16세기지롤라모 카르다노가 2×2 행렬식을, 17세기에는 고트프리트 라이프니츠가 일반적인 크기의 행렬식을 정의하였다.

정의[편집]

A = (A_{i,j})\in\operatorname{Mat}_n(k)정사각행렬이라 하자. 그렇다면 행렬식은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수 \det\colon \operatorname{Mat}_n(k)\to k이다.

  • \det(I_n) = 1
  • \det(한 번 행을 바꾼 행렬) = - \det(원래 행렬)
  • 첫 행에 대해 선형적이다.
\begin{bmatrix}a\mathbf{r_1} + b\mathbf{r_2}\\...\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a\mathbf{r_1}\\...\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}b\mathbf{r_2}\\...\end{bmatrix}

구체적으로, 행렬식은 고트프리트 라이프니츠가 증명한 라이프니츠 공식에 의하여 주어진다.

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} 
\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}

이 된다. 합은 {1, \cdots , n}의 모든 치환(permutation)인 \sigma 에 대해 이루어지고, \operatorname{sgn}(\sigma) 는 치환의 부호로 우치환(짝치환, even permutation)일 때 +1, 기치환(홀치환, odd permutation)일 때 -1의 값을 갖는다.

행열식을 구성하는 각 항의 부호는 원소 Aiσ(i) 에 대하여 A1σ(i)·A2σ(i)·A3σ(i).... 식으로 정렬 하였을때, σ(i)의 순열이 항등행렬에 대해 우치환/기치환 인가에 따라 ±가 결정된다. 라이프니츠 공식은 n! 의 합을 포함하고 있어서, n > 3일 때는 실제적으로 사용하기 힘들다.

계산[편집]

작은 행렬의 행렬식[편집]

1×1, 2×2, 3×3 정사각행렬의 행렬식은 다음과 같다.

1×1 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

\det\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}=a

2×2 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

3×3 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh

가우스-요르단 소거법[편집]

일반적으로, 행렬식은 가우스-요르단 소거법을 이용해 구할 수 있으며, 그 내용은 다음과 같다.

  • A 행렬이 삼각행렬이면, 즉 i > j일 때, 혹은 i < j일 때, A_{i,j} = 0이면, \det(A) = A_{1,1} A_{2,2} \cdots A_{n,n} = \prod_{i=1}^n A_{i,i}이다.
  • A 행렬의 두 열이나 두 행을 서로 바꿔서 B 행렬을 얻었다면, \det(B) = - \det(A)이다.
  • A 행렬에 상수 c를 곱하여 B 행렬을 얻었다면, \det(B) = c^n \cdot \det(A)이다.
  • A 행렬의 한 행이나 열에 상수배를 해서 다른 행이나 열에 더해서 B 행렬을 얻었다면, \det(B) = \det(A)이다.

성질[편집]

행렬식은 곱셈적 사상의 일종이다. 즉, 다음이 성립한다.

모든 정사각행렬 AB에 대해 \det(AB) = \det(A)\det(B) 이다.

n차 항등행렬 I에 대해 \det(rI) = r^n이므로 모든 n차 정사각행렬 A스칼라r에 대해 다음 식이 성립한다.

\det(rA) = r^n \det(A)

A역행렬이 존재하면 다음 식이 성립한다.

\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}

어떤 행렬과 그 행렬의 전치행렬은 같은 행렬식 값을 가진다.

\det(A) = \det(A^\mathrm{T})

응용[편집]

행렬식은 가역행렬의 성질을 말해주며, 방정식의 근의 공식인 크래머공식에도 등장한다. 행렬식은 또한 행렬 A 의 고윳값을 구하는 특성다항식에도 나온다. (특성다항식 p(x) = \det(A - xI_n)).

행렬식은 또한 정사각행렬의 각 열벡터를 R_n의 벡터로 파악하여, 순서있는 n개의 R_n 벡터에 대응하는 수라고 생각할 수도 있다. 이 때에 행렬식의 부호는 유클리드 공간의 기저(basis)의 향 (선형대수학)(orientation)을 정의한다고 할 수 있다.

행렬식은 벡터미적분학에서 부피를 계산하는 데에 쓰일 수도 있다. 실벡터들로 이루어진 행렬의 행렬식의 절대값은 그 벡터들을 각 변으로 갖는 평행육면체의 부피와 같다. 그 결과로, 선형변환 f:\, R_n \to R_n 가 행렬 A 로 표현되고, SR_n의 가측(可測: measurable) 부분집합일 때, f(S)의 부피는 |\det(A)| \cdot \operatorname{volume}(S) 로 주어진다. 일반적으로, 선형사상 f:\, R_n \to R_mm \times n 행렬 A 로 표현되고, R_n의 S 가 가측 부분집합일 때, f(S)n 차원의 부피는 \sqrt {\det(A^T A)} \cdot \operatorname{volume}(S) 로 주어진다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]