기하적 대수학 (영어 : Geometric Algebra (GA) )은 수학에서 클리퍼드 대수 의 기하학적 해석이며 3차원 공간에서 직접적으로 공간과 시간을 벡터 미적분 보다 간단하게 표현하고 해석할 수 있다.
기하적 대수학은 수학적 문제에서 회전 , 위상 이나, 복소수 를 사용할 경우 문제를 간단하고 알기 쉽게 표현할 수 있기 때문에 물리의 고전역학 , 양자역학 , 전자기학 , 로봇공학 , 컴퓨터 비전 과 컴퓨터 그래픽 등에 응용되고있다.
기하적 곱 [ 편집 ] 기하적 대수학에서는 기하적 곱 (geometric product)이 임의의 벡터
a
,
b
,
c
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }
결합법칙:
(
a
b
)
c
=
a
(
b
c
)
{\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {b} )\mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {b} \mathbf {c} )}
왼쪽 분배법칙 :
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
{\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} }
오른쪽 분배법칙 :
(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} =\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} }
축약 :
a
a
=
a
2
=
|
a
|
2
{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{2}=|\mathbf {a} |^{2}}
여기서
|
a
|
{\displaystyle |\mathbf {a} |}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
기하적 곱으로부터 두가지 곱을 정의할 수 있는데, 하나는 대칭적(symmetric)인 내적으로 다음과 같다.
a
⋅
b
=
1
2
(
a
b
+
b
a
)
=
b
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }
이 내적은 다음 식에서 우항들의 축약성을 이용하면 스칼라임을 보일 수 있다.
a
⋅
b
=
1
2
(
(
a
+
b
)
2
−
a
2
−
b
2
)
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}((\mathbf {a} +\mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2})}
보통, 이 내적은 통상적인 유클리드 공간에서의 내적과 동일시 된다.
쐐기곱 [ 편집 ] 다른 하나는 반대칭적(anti-symmetric)인 쐐기곱으로 다음과 같다.
a
∧
b
=
1
2
(
a
b
−
b
a
)
=
−
b
∧
a
{\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} -\mathbf {b} \mathbf {a} )=-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} }
이 쐐기곱으로 만들어진
a
∧
b
{\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }
a
1
∧
a
2
∧
⋯
∧
a
r
=
1
r
!
∑
σ
∈
S
r
sgn
(
σ
)
a
σ
(
1
)
a
σ
(
2
)
⋯
a
σ
(
r
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{r}={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )\mathbf {a} _{\sigma (1)}\mathbf {a} _{\sigma (2)}\cdots \mathbf {a} _{\sigma (r)},}
여기서 합은 모든 순열 에 대해 행해지며,
sgn
(
σ
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}
기하적 곱은 이와 같은 내적과 쐐기곱의 합성으로 주어질 수 있다.
a
b
=
a
⋅
b
+
a
∧
b
{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }
전자기학에서 이용 [ 편집 ] 전자기장 멀티벡터 [ 편집 ] 3차원 공간에서 벡터인 전기장
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
B
→
→
{\displaystyle {\vec {\vec {B}}}}
e
→
1
,
e
→
2
,
e
→
3
{\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
B
→
→
{\displaystyle {\vec {\vec {B}}}}
E
→
=
E
1
e
→
1
+
E
2
e
→
2
+
E
3
e
→
3
{\displaystyle {\vec {E}}=E_{1}{\vec {e}}_{1}+E_{2}{\vec {e}}_{2}+E_{3}{\vec {e}}_{3}}
B
→
→
=
B
12
e
→
1
∧
e
→
2
+
B
23
e
→
2
∧
e
→
3
+
B
31
e
→
3
∧
e
→
1
{\displaystyle {\vec {\vec {B}}}=B_{12}{\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}+B_{23}{\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}+B_{31}{\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}}
표준기저를 이루는 서로 다른 벡터 간의 내적은 0이므로,
a
≠
b
{\displaystyle a\neq b}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
e
→
a
∧
e
→
b
=
e
→
a
e
→
b
{\displaystyle {\vec {e}}_{a}\wedge {\vec {e}}_{b}={\vec {e}}_{a}{\vec {e}}_{b}}
B
→
→
=
B
12
e
→
1
e
→
2
+
B
23
e
→
2
e
→
3
+
B
31
e
→
3
e
→
1
{\displaystyle {\vec {\vec {B}}}=B_{12}{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}+B_{23}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}+B_{31}{\vec {e}}_{3}{\vec {e}}_{1}}
또한
a
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle a=1,2,3}
a
{\displaystyle a}
1
=
e
→
a
⋅
e
→
a
=
e
→
a
e
→
a
{\displaystyle 1={\vec {e}}_{a}\cdot {\vec {e}}_{a}={\vec {e}}_{a}{\vec {e}}_{a}}
a
≠
b
{\displaystyle a\neq b}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
e
→
a
e
→
b
=
e
→
a
∧
e
→
b
=
−
e
→
b
∧
e
→
a
=
−
e
→
b
e
→
a
{\displaystyle {\vec {e}}_{a}{\vec {e}}_{b}={\vec {e}}_{a}\wedge {\vec {e}}_{b}=-{\vec {e}}_{b}\wedge {\vec {e}}_{a}=-{\vec {e}}_{b}{\vec {e}}_{a}}
B
→
→
=
e
→
1
e
→
2
e
→
3
(
B
12
e
→
3
+
B
23
e
→
1
+
B
31
e
→
2
)
{\displaystyle {\vec {\vec {B}}}={\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}(B_{12}{\vec {e}}_{3}+B_{23}{\vec {e}}_{1}+B_{31}{\vec {e}}_{2})}
보통
e
→
1
e
→
2
e
→
3
{\displaystyle {\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}}
i
{\displaystyle i}
I
{\displaystyle {\mathit {I}}}
B
23
=
B
1
′
{\displaystyle B_{23}=B'_{1}}
B
31
=
B
2
′
{\displaystyle B_{31}=B'_{2}}
B
12
=
B
3
′
{\displaystyle B_{12}=B'_{3}}
B
→
′
{\displaystyle {\vec {B}}'}
B
→
→
=
i
B
→
′
{\displaystyle {\vec {\vec {B}}}=i{\vec {B}}'}
가 된다. 이중벡터
B
→
→
{\displaystyle {\vec {\vec {B}}}}
B
→
′
{\displaystyle {\vec {B}}'}
F
{\displaystyle {\mathit {F}}}
F
=
E
/
c
+
(
i
B
)
{\displaystyle {\mathit {F}}=\mathbf {E} /c+(i\mathbf {B} )}
여기서 c는 빛의 속도이다. 멀티벡터는 기하적 대수학에서 다루는 수학적 개체로, 보통은 더해지지 않는 스칼라, 벡터 등의 서로 다른 텐서들의 합으로 주어지는 개체이다.
멕스웰 방정식 [ 편집 ] 상대론 적으로 다루는 4차원 벡터는 기하적 대수에서 다음과 같이 주어진다.
v
=
(
v
0
+
v
1
e
1
+
v
2
e
2
+
v
3
e
3
)
e
0
{\displaystyle v=(v_{0}+v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3})e_{0}}
여기서
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
0
⋅
e
0
=
1
{\displaystyle e_{0}\cdot e_{0}=1}
a
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle a=1,2,3}
a
{\displaystyle a}
e
0
⋅
e
a
=
0
{\displaystyle {e}_{0}\cdot \mathbf {e} _{a}=0}
기하적 대수학에서 멕스웰 방정식에 해당하는 표현은
◻
F
=
μ
0
J
{\displaystyle \Box {\mathit {F}}=\mu _{0}J}
◻
{\displaystyle \Box }
F
{\displaystyle {\mathit {F}}}
◻
F
=
(
1
c
∂
∂
t
−
∇
)
e
0
(
E
/
c
+
i
B
)
{\displaystyle \Box {\mathit {F}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)e_{0}(\mathbf {E} /c+i\mathbf {B} )}
e
0
e
a
=
−
e
a
e
0
{\displaystyle {e}_{0}\mathbf {e} _{a}=-\mathbf {e} _{a}{e}_{0}}
e
0
i
=
e
0
e
1
e
2
e
3
=
−
e
1
e
2
e
3
e
0
=
−
i
e
0
{\displaystyle {e}_{0}i={e}_{0}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}{e}_{0}=-i{e}_{0}}
◻
F
=
(
1
c
∂
∂
t
−
∇
)
(
−
E
/
c
+
i
B
)
e
0
{\displaystyle \Box {\mathit {F}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)(-\mathbf {E} /c+i\mathbf {B} )e_{0}}
그러므로 식은 시간에 대한 미분 부분과 공간에 대한 미분 부분으로 나눠지는데, 공간에 대한 미분 부분 중 전기장에 대한 미분 부분은 다음과 같다.
∇
E
=
∇
⋅
E
+
∇
∧
E
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \mathbf {E} ={\bf {{\nabla }\cdot \mathbf {E} +\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {E} }}}
여기서
∇
∧
E
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {E} }
∇
E
=
∇
⋅
E
+
i
∇
×
E
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} +i\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} }
그러므로
◻
F
{\displaystyle \Box {\mathit {F}}}
[
(
∇
⋅
E
/
c
+
(
∇
×
B
−
1
c
2
∂
E
∂
t
)
)
−
i
(
∇
⋅
B
−
(
∇
×
E
/
c
+
1
c
∂
(
B
)
∂
t
)
)
]
e
0
{\displaystyle \left[\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} /c+\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)-i\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} -\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} /c+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial (\mathbf {B} )}{\partial t}}\right)\right)\right]e_{0}}
가 되고, 보통 벡터미적분으로 기술하는 맥스웰 방정식 을 대입하면
(
ρ
ϵ
0
c
+
μ
0
J
)
e
0
=
μ
0
(
ρ
c
+
J
)
e
0
=
μ
0
J
{\displaystyle \left({\frac {\rho }{\epsilon _{0}c}}+\mu _{0}\mathbf {J} \right)e_{0}=\mu _{0}(\rho c+\mathbf {J} )e_{0}=\mu _{0}J}
가 된다.
전자기포텐셜 [ 편집 ] 4차원 벡터 형식을 따르는
A
{\displaystyle A}
◻
{\displaystyle \Box }
◻
A
=
(
1
c
∂
∂
t
−
∇
)
e
0
(
ϕ
/
c
+
A
)
e
0
=
(
1
c
∂
∂
t
−
∇
)
(
ϕ
/
c
−
A
)
{\displaystyle \Box A=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)e_{0}(\phi /c+\mathbf {A} )e_{0}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \right)(\phi /c-\mathbf {A} )}
항들을 전개하고 정리해주면,
◻
A
=
(
1
c
∂
∂
t
ϕ
/
c
+
∇
⋅
A
)
+
(
−
∇
ϕ
/
c
−
1
c
∂
(
A
)
∂
t
+
∇
∧
A
)
=
(
1
c
∂
∂
t
ϕ
/
c
+
∇
⋅
A
)
+
(
E
/
c
+
i
B
)
{\displaystyle \Box A=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi /c+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)+\left(-\mathbf {\nabla } \phi /c-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial (\mathbf {A} )}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \wedge \mathbf {A} \right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi /c+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)+(\mathbf {E} /c+i\mathbf {B} )}
그러므로 로렌츠 게이지 를 만족한다면,
◻
A
=
F
{\displaystyle \Box A=F}
∇
∧
A
=
F
{\displaystyle \nabla \wedge A=F}
양자역학에서의 응용 [ 편집 ] 파울리 행렬 은 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 표준기저 벡터들의 행렬 표현으로 생각될 수 있다. 3차원공간의 표준기저
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}
e
i
e
j
=
e
i
⋅
e
j
+
e
i
∧
e
j
=
e
i
⋅
e
j
+
i
e
i
×
e
j
=
δ
i
j
+
i
∑
k
ϵ
i
j
k
e
k
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}+i\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k}}
그리고 파울리 행렬
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
{\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}
σ
i
σ
j
=
δ
i
j
⋅
I
+
i
∑
k
ϵ
i
j
k
σ
k
{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\cdot I+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}}
[
σ
i
,
σ
j
]
=
2
σ
i
∧
σ
j
=
2
i
∑
k
ϵ
i
j
k
σ
k
{\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2\sigma _{i}\wedge \sigma _{j}=2i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}}
{
σ
i
,
σ
j
}
=
2
σ
i
⋅
σ
j
=
2
δ
i
j
⋅
I
{\displaystyle \lbrace \sigma _{i},\sigma _{j}\rbrace =2\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}=2\delta _{ij}\cdot I}
그렇다면 일반적으로 양자역학에서 다루는, 파울리 벡터(
σ
=
σ
1
x
^
+
σ
2
y
^
+
σ
3
z
^
{\displaystyle \mathbf {\sigma } =\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}}
v
=
v
1
x
^
+
v
2
y
^
+
v
3
z
^
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}{\hat {x}}+v_{2}{\hat {y}}+v_{3}{\hat {z}}}
σ
⋅
v
=
v
1
σ
1
+
v
2
σ
2
+
v
3
σ
3
{\displaystyle \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {v} =v_{1}\sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3}}
v
=
[
v
1
,
v
2
,
v
3
]
{\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},v_{3}]}
(
v
3
v
1
−
i
v
2
v
1
+
i
v
2
−
v
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{3}&v_{1}-iv_{2}\\v_{1}+iv_{2}&-v_{3}\end{pmatrix}}}
(
v
3
v
1
−
i
v
2
v
1
+
i
v
2
−
v
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{3}&v_{1}-iv_{2}\\v_{1}+iv_{2}&-v_{3}\end{pmatrix}}}
v
=
[
v
1
,
v
2
,
v
3
]
{\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},v_{3}]}
v
,
w
{\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }
v
w
=
v
⋅
w
+
i
v
×
w
{\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} +i\mathbf {v} \times \mathbf {w} }
위 식을 표준기저를 사용해서 표현하면 다음과 같다.
(
v
1
e
1
+
v
2
e
2
+
v
3
e
3
)
(
w
1
e
1
+
w
2
e
2
+
w
3
e
3
)
=
(
v
1
w
1
+
v
2
w
2
+
v
3
w
3
)
+
i
(
(
v
2
w
3
−
v
3
w
2
)
e
1
+
(
v
3
w
1
−
v
1
w
3
)
e
2
+
(
v
1
w
2
−
v
2
w
1
)
e
3
)
{\displaystyle (v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3})(w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3})=(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3})+i((v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})\mathbf {e} _{1}+(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})\mathbf {e} _{2}+(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})\mathbf {e} _{3})}
그러면 기하적 대수 구조를 가지는 3차원공간의 두 벡터
v
,
w
{\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }
(
v
1
σ
1
+
v
2
σ
2
+
v
3
σ
3
)
(
w
1
σ
1
+
w
2
σ
2
+
w
3
σ
3
)
=
(
v
1
w
1
+
v
2
w
2
+
v
3
w
3
)
+
i
(
(
v
2
w
3
−
v
3
w
2
)
σ
1
+
(
v
3
w
1
−
v
1
w
3
)
σ
2
+
(
v
1
w
2
−
v
2
w
1
)
σ
3
)
{\displaystyle (v_{1}\sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3})(w_{1}\sigma _{1}+w_{2}\sigma _{2}+w_{3}\sigma _{3})=(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3})+i((v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})\sigma _{1}+(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})\sigma _{2}+(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1})\sigma _{3})}
일반적으로 양자역학에서 다루는,
x
^
,
y
^
,
z
^
{\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}}
(
v
⋅
σ
)
(
w
⋅
σ
)
=
v
⋅
w
+
i
σ
⋅
(
v
×
w
)
{\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \mathbf {\sigma } )(\mathbf {w} \cdot \mathbf {\sigma } )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} +i\mathbf {\sigma } \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}
가 된다.
참고 문헌 [ 편집 ]
이 글의 주제는 대수기하학이 아닙니다.
![{\displaystyle \left[\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} /c+\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)-i\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} -\left(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} /c+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial (\mathbf {B} )}{\partial t}}\right)\right)\right]e_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc9252f904c21e94a46519de41a967773219fa7)
![{\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2\sigma _{i}\wedge \sigma _{j}=2i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135383532a176901232c6070c377ea958924e21e)
![{\displaystyle \mathbf {v} =[v_{1},v_{2},v_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffad168e1c60e791383a82aaac4e13cc70521df4)
