벡터곱

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벡터곱(vector곱, 영어: cross product) 또는 외적(外積)은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘등의 공식에 등장한다.

정의[편집]

두 벡터 \mathbf{a}\mathbf{b}의 벡터곱은 \mathbf{a} \times \mathbf{b}라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 \mathbf{a} \and \mathbf{b}라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \hat{\mathbf n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta

식에서 \theta\mathbf{a}\mathbf{b}가 이루는 각을 나타내며, \hat{\mathbf n}\mathbf{a}\mathbf{b}에 공통으로 수직단위벡터를 나타낸다.

위 정의에서의 문제점은 \mathbf{a}\mathbf{b}에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, \mathbf{\hat n}이 수직이면, -\hat{\mathbf n}도 수직이다.

어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터공간의 방향(orientation)에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 \mathbf{a} \times \mathbf{b}는, \mathbf{a, b, a \times b}가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다.)

벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.

벡터곱의 정의

성질[편집]

a, b, cR3, α ∈ R이라 하자.

  • 반대칭성 : a×b = -b×a
교환법칙이 성립하지 않음에 주의하자.
  • 스칼라곱에 대한 선형성: (αab = a×(αb) = α(a×b).
  • 벡터의 덧셈에 대한 분배법칙: a×(b + c) = a×b + a×c
  • 벡터곱의 크기: ||a×b||2 = (a·a)(b·b)-(a·b)2
||a×b|| = ||a|| ||b|| sin θ
여기서 θ는 a로부터 b까지의 각도이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적으로 생각할 수 있다.
  • 야코비 항등식: a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0
  • 수직성
a×ba 이고 a×bb이다.
  • 두 벡터의 평행성 확인
ab가 모두 0벡터가 아닐 때, a×b = 0인 것은 ab가 서로 평행인 것과 동치이다.
  • 유클리드 공간의 단위벡터의 벡터곱
유클리드 공간단위벡터 i, j, k 는 주어진 직교좌표계에서 다음 관계를 만족한다.
i×j = k, j×k = i, k×i = j
이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다.
\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k = [a_1, a_2, a_3]
\mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k = [b_1, b_2, b_3]
로 표기할 때,
\mathbf a \times \mathbf b = [a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1]
위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식을 이용하여 간단히 쓸 수 있다.
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{bmatrix}
따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 스칼라곱과 벡터곱으로 쓸 수 있다.
det(a,b,c) = a·(b×c).
  • 사원수와 벡터곱
벡터곱은 또한 사원수의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 i, j, k에 대한 관계가 사원수의 연산에서 i, j, k가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터 [a_1, a_2, a_3]가 사원수 a_1 i + a_2 j + a_3 k를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 벡터곱과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 스칼라곱값 × −1과 같게 된다.)
분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, R3에서의 벡터의 합과 벡터곱은 리 대수 \mathfrak{su}(2)를 이룬다. 즉, 그 구조 상수는 레비치비타 기호 \epsilon^{ijk}이다.

응용[편집]

벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘각운동량의 정의에도 나온다.

고차원에서의 벡터곱[편집]

7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다.

7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.

  • 다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다.
x×(a y + b z) = a x × y + b x × z and (a y + b z) × x = a y × x + b z × x
  • 반가환성 (anti-commutative)
x×y + y×x = 0
  • xy 모두에 수직
x·(x×y) = y·(x×y) = 0
  • 야코비 항등식이 성립한다.
x×(y×z) + y×(z×x) + z×(x×y) = 0
  • ||x×y||2 = ||x||2||y||2-(x·y)2

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]

  • (영어) Vector product. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).