호지 쌍대

미분기하학에서, 호지 쌍대(Hodge雙對, Hodge dual)는 미분형식을 그 여차원의 미분형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표($*$). 호지 별표(Hodge star)로도 부른다.

정의

$(M,g)$가 $n$차원 유향 리만 다양체 또는 유사 리만 다양체이고, $\alpha$가 그 위에 정의된 $k$차 미분형식이라고 하자 ($0\le k\le n$). 그렇다면 $\alpha$의 호지 쌍대 $*\alpha$는 $n-k$차 미분형식으로, 다음을 만족한다. 임의의 $k$차 미분형식 $\beta$에 대하여,

$\beta\wedge*\alpha=\langle\beta,\alpha\rangle\omega$.

여기서 $\langle,\rangle$은 미분형식의 내적이고, $\omega$는 다양체의 향을 정의하는 $n$차 미분형식인 부피 형식(volume form)이다.

성분으로 쓰면 다음과 같다.

$(*\alpha)_{i_{k+1},i_{k+2},\dots,i_n}=\frac1{k!}\sqrt{|\det g|}\alpha^{i_1,\dots,i_k}\epsilon_{i_1,i_2,\dots,i_n}$.

여기서 $\sqrt{|\det g|}\epsilon_{i_1,\dots,i_n}=\omega_{i_1,\dots,i_n}$은 부피 형식이고, $\epsilon^{i_1,\dots,i_n}$은 레비치비타 기호이다.

성질

호지 쌍대는 다음을 만족한다. $\alpha$가 $n$차원 다양체 위에 정의된 $k$차 미분형식이라고 하자. 그렇다면

$**\alpha=(-1)^{k(n-k)}s\alpha$

이다. 여기서 $s$는 리만 다양체의 경우 +1이고, 유사 리만 다양체일 경우 계량 부호수에서 마이너스가 홀수개 있는 경우 −1, 짝수개 있는 경우 +1이다.

공미분

미분형식의 공미분(codifferential) $\delta$는 미분형식의 차수를 1 증가시키는 연산으로, 외미분 $d$에 대응하는 연산이다. 이는 다음을 만족한다.

$\langle\delta\alpha,\beta\rangle=\langle\alpha,d\beta\rangle$.

따라서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. $\alpha$가 $k$차 형식이라면,

$\delta\alpha=(-1)^k*^{-1}d*\alpha$

이다.

공미분은 외미분과 마찬가지로 $\delta^2=0$을 만족한다.

미분형식에 대한 라플라스-벨트라미 연산자 $\Delta$는 공미분을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\Delta=(d+\delta)^2=d\delta+\delta d$.

바깥 고리

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Hodge star. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.