호지 이론

호지 이론(영어: Hodge theory)은 리만 다양체의 라플라스 연산자의 코호몰로지를 다루는 이론이다.

리만다양체의 호지 이론

매끄러운 n차원 컴팩트 가향(orientable) 리만 다양체 $(M,g)$를 생각하자. 이 위에 $k$-미분형식의 층 $\Omega^k(M)$을 정의할 수 있다. 이 경우 미분형식층은 드람 복합체

$0\rightarrow \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0$

를 이룬다. 여기서 $d_k$는 외미분이다. 이 복합체로 정의한 코호몰로지는 드람 코호몰로지 $H^k(M)$이다.

이제 (외)미분의 (형식적인) 딸림연산자(adjoint)를 생각하자. 즉 다음을 만족하는 연산자 $d^\dagger$를 생각하자. 임의의 $\alpha\in\Omega^k(M)$, $\beta\in\Omega^{k+1}(M)$에 대하여,

$\int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_{k+1} \,dV = \int_M\langle\alpha,d^\dagger\beta\rangle_k \,dV$

(여기서 $\langle,\rangle_k$는 $k$차 미분형식의 내적으로, 리만 계량형식으로부터 정의한다.) 이러한 연산자 $d^\dagger$를 찾을 수 있으며, 공미분(codifferential)이라고 부른다. 이는 다음과 같다.

$d^\dagger_k=(-)^{nk+n+1}*d*$

여기서 $*\colon\Omega^k(M)\to\Omega^{n-k}(M)$은 호지 별연산자(영어: Hodge star operator)라 불리는 연산자로, 형식을 레비치비타 기호와 축약시키는 연산이다.

이제 라플라스 연산자 $\Delta$를 다음과 같이 정의한다.

$\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d$

라플라스 연산자의 값이 0인 형식을 조화형식(調和形式, 영어: harmonic form)이라 부른다. 즉 $\Delta\alpha=0$이면 $\alpha$는 조화형식이다. 모든 조화형식은 미분과 공미분에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 즉 $\Delta\alpha=0$이면 $d\alpha=0$이며 $d^\dagger\alpha=0$이다.

호지 분해와 호지 정리

임의의 $k$차 미분형식 $\omega$는 다음과 같이 유일하게 분해할 수 있다.

$\omega=\alpha+d\beta+d^\dagger\gamma$

여기서 $\alpha$는 조화형식이다. 즉, 임의의 미분형식을 조화성분과 닫힌 성분, 공닫힌(coclosed) 성분으로 유일하게 분해할 수 있다. 이를 호지 분해(Hodge decomposition)이라고 한다.

만약 $\omega$가 닫힌 형식이라면 ($d\omega=0$) 공닫힌 성분은 항상 0이다. 즉

$\omega=\alpha+d\beta$

이다. 여기서 조화성분만을 취하면, $k$차 조화형식의 벡터공간 $\mathcal H_\Delta^k(M)$과 $k$차 드람 코호몰로지 $H^k(M,\mathbb R)$과의 동형사상을 얻는다. 즉,

$\mathcal H_\Delta^k(M)\cong H^k(M,\mathbb R)$

이다. 이를 호지 정리(영어: Hodge's theorem)라고 하고, 호지가 최초로 증명하였다. 다시 말하면, 임의의 코호몰로지 동치류 $[\alpha]\in H^k$에서 유일한 조화형식인 대표 $\alpha\in[\alpha]$를 찾을 수 있다.

복소 다양체의 호지 이론

n차원 복소 다양체 $M$과 그 위에 정의된 (1,1)-형식 (에르미트 형식) $\omega$를 생각하자. 이 형식이 $\omega=\omega^*$를 만족한다고 가정하자. 이 경우, $(M,\omega)$는 에르미트 다양체로 불리며, 복소 다양체에서 리만 구조와 유사한 개념이다. 이 경우, 돌보 연산자(Dolbeault operator) $\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p+1,q}(M)$, $\bar\partial\colon\Omega^{p,q}(M)\to\Omega^{p,q+1}(M)$을 생각하자. 에르미트 형식을 써서 내적

$\langle\alpha,\beta\rangle=\int_M\alpha^*\beta\;\omega^n/n!$

를 정의한다. 이 내적을 써서 딸림연산자 $\partial^\dagger$와 $\bar\partial^\dagger$를 정의할 수 있다. 이를 써서 라플라스 연산자

$\Delta_\partial=\partial\partial^\dagger+\partial^\dagger\partial$

$\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial\bar\partial^\dagger+\bar\partial^\dagger\bar\partial$

를 정의한다. 라플라스 연산자가 0인 형식을 마찬가지로 조화형식으로 일컫는다.

이들도 마찬가지로

$\Delta_\partial\alpha=0\implies\partial\alpha=0,\partial^\dagger\alpha=0$

$\Delta_{\bar\partial\alpha}=0\implies\bar\partial\alpha=0,\bar\partial^\dagger\alpha=0$

임을 보일 수 있다. 이 경우에도 마찬가지로 호지 정리가 성립한다. 즉 $\Delta_{\bar\partial}$에 대한 조화형식의 벡터공간은 돌보 코호몰로지 공간 $H^{p,q}_{\bar\partial}$과 동형이다.

이 밖에도, 에르미트 다양체는 리만 다양체를 이루므로, 실수다양체의 경우와 같이 $d=\partial+\bar\partial$를 기반으로 라플라스 연산자

$\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d$

를 정의할 수 있다. 즉 에르미트 공간에는 $\Delta_\partial$, $\Delta_{\bar\partial}$, $\Delta$ 세 개의 라플라스 연산자와 그에 관련된 호지 코호몰로지가 존재한다.

만약 에르미트 형식이 닫혀 있다면 ($d\omega=\partial\omega=\bar\partial\omega=0$) $(M,\omega)$는 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우 라플라스 연산자 사이에 다음 관계가 성립한다.

$\Delta=2\Delta_\partial=2\Delta_{\bar\partial}$

따라서 어느 라플라스 연산자를 쓰는지에 상관없이 같은 코호몰로지를 얻는다.

역사

윌리엄 호지(영어: William Vallance Douglas Hodge)가 1930년대에 도입하였고, 1941년의 "조화적분의 이론과 응용"에 집대성하였다. (여기서 "조화적분"은 조화형식을 호지가 불렀던 이름이다.)

같이 보기

• 호지 추측
• 미분형식과 복소미분형식
• 켈러 다양체
• 라플라스 연산자

참고 문헌

• (프랑스어) Bidal, Pierre, Georges de Rham (1946년). Les formes différentielles harmoniques. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 19: 1–49. doi:10.5169/seals-17331. Zbl 0063.00378. ISSN 0010-2571.
• (영어) Ivancevic, Vladimir G., Tijana T. Ivancevic (2008년). Undergraduate lecture notes in De Rham–Hodge theory. arXiv:0807.4991. Bibcode: 2008arXiv0807.4991I.