에르미트 다양체

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미분기하학에서, 에르미트 다양체(영어: Hermitian manifold)는 일종의 계량 텐서를 가진 복소 다양체이다. 복소 기하학에서 리만 다양체에 대응되는 개념이다.

켈러 다양체칼라비-야우 다양체는 에르미트 다양체의 특수한 경우다.

정의[편집]

복소 다양체 M 위에 에르미트 계량(Hermitian metric)은 다음 두 성질을 만족시키는 단면 h\in\Gamma(T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M)^*이다.

  1. 임의의 복소 벡터 u,v\in T_p^{(1,0)}M에 대하여 h(u,\bar v)=\overline{h(v,\bar u)}. 즉, h_{\alpha\bar\beta}=\bar h_{\beta\bar\alpha}. 즉, h_{\alpha\bar\beta}에르미트 행렬을 이룬다.
  2. 임의의 복소 벡터 u\in T_p^{(1,0)}M에 대하여 u\ne0이라면 h(u,\bar u)>0. 즉, h_{\alpha\bar\beta}고윳값은 모두 양의 실수이다.

에르미트 다양체 (M,h)는 복소 다양체와 그 위에 에르미트 계량의 순서쌍이다.

리만 구조[편집]

모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가져, 리만 다양체를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다.

g^{\mathbb C}=\frac12(h+\bar h)\in\Gamma(T^{\mathbb C}M\oplus T^{\mathbb C}M)^*

이 경우, g^{\mathbb C}(u,v)=\bar g^{\mathbb C}이므로, 이는 g\in\Gamma(TM\oplus TM)^*로 제약이 가능하며, 이는 리만 계량을 이룬다.

또한, h를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-복소미분형식 \omega를 정의할 수 있다.

\omega=\frac{i}2(h-\bar h)
\omega_{\alpha\bar\beta}=\frac i2h_{\alpha\bar\beta}dz^\alpha\wedge d\bar z^{\bar\beta}

천 접속[편집]

에르미트 다양체 위에는 다음 두 조건을 만족하는 유일한 접속 \nabla가 존재한다. 이를 천 접속(Chern connection)이라고 한다.

  • \nabla J=0
  • \nabla g=0

이는 일반적으로 레비치비타 접속과는 다르며, 비틀림을 가진다. 만약 에르미트 다양체가 켈러 다양체인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다.