그린 함수

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수학에서 그린 함수(Green's function)는 미분방정식 을 풀기 위해 사용하는 함수로, 물리학, 공학의 전반에 걸쳐 응용되고 있으며, 특히 물리의 양자장 이론에서 자주 쓰인다. 이 함수는 1830년에 이 방법을 개발한 영국의 수학자 조지 그린 의 이름을 따 명명되었다.

정의와 응용[편집]

선형 미분 연산자 L=L(x) 와 함수 f(x)가 정의되어 있으며,

L u(x) = f(x) \mbox{ (1)} 을 만족하는 u(x) 를 찾으라는 문제를 풀 때 그린함수 해법을 사용할 수 있다.

상단의 문제에서, f(x)=0이면 제차 상미분 방정식이므로 해를 구하기 비교적 간단하지만 f(x) 가 0이 아니면 비제차 상미분 방정식이므로 풀기가 어려워진다. 이럴 때 그린 함수를 이용하면 비교적 간단히 해를 구할 수 있다.

L G(x,s) = \delta(x-s) \mbox{ (2)} (단, (2)에서 \delta디랙 델타 함수)

식 (2)와 같은 성질을 가진 그린함수 G(x,s) 를 가정하자.

식 (2)의 양변을 적분하면,

G(x,s)= \int L G(x,s)ds = \int \delta(x-s)ds \mbox{ (3)}
f(x)=Lu(x) \mbox{ (1)}

식 (3)과 식 (1)를 곱하면,

G(x,s)f(x) = Lu(x) \int \delta(x-s)ds \mbox{ (4)}

식 (4)에서 : \int \delta(x-s)ds는 디랙델타함수의 정의에 의해 1이므로

G(x,s)f(x)  = Lu(x)

양변에 적분을 취해주면,

 \int G(x,s)f(x)ds = \int Lu(x) \mbox{ (5)}

식 (5)에서 : \int L는 선형미분연산자를 적분한 것이므로 상쇄되어 결국

u(x) = \int G(x,s) f(s) ds

로 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

이렇게 해 u(x)를 구하는 방법을 미분방정식의 그린함수해법이라 한다.

edited by 서윤호

관련 문서[편집]

참고 문헌[편집]

  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

바깥 고리[편집]