푸앵카레 쌍대성

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대수적 위상수학에서, 푸앵카레 쌍대성(Poincaré雙對性, 영어: Poincaré duality)은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 대한 대응성이다.

역사[편집]

앙리 푸앵카레가 1893년에 베티 수에 대한 관계로 제시하였다. 푸앵카레는 1895년에 푸앵카레 쌍대성의 증명을 발표하였으나,[1] 덴마크의 수학자 포울 헤고르(덴마크어: Poul Heegaard)가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이 논문의 속편에서 수정한 다른 증명을 발표하였다.

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 베티 수를 넘어서 호몰로지코호몰로지 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

정의[편집]

M이 경계가 없는 콤팩트 n차원 유향다양체라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 자연스러운 동형사상이 존재한다.

H^k(M)\cong H_{n-k}(M).

여기서 H^kk코호몰로지 군이고, H_{n-k}(n-k)호몰로지 군이다.

이는 기본류에 대한 교적(cup product)으로 인한 동형사상이다.

베티 수 b_k는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.

b_k=b_{n-k}.

참고 문헌[편집]

  1. Henri Poincaré, Analysis Situs, Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pages 1–123.

같이 보기[편집]