푸앵카레 쌍대성

대수적 위상수학에서, 푸앵카레 쌍대성(Poincaré雙對性, 영어: Poincaré duality)은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 대한 대응성이다.

역사

앙리 푸앵카레가 1893년에 베티 수에 대한 관계로 제시하였다. 푸앵카레는 1895년에 푸앵카레 쌍대성의 증명을 발표하였으나, 덴마크의 수학자 포울 헤고르(덴마크어: Poul Heegaard)가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이 논문의 속편에서 수정한 다른 증명을 발표하였다.

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 베티 수를 넘어서 호몰로지와 코호몰로지 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

정의

$M$이 경계가 없는 컴팩트 유향 $n$차원 다양체라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 자연스러운 동형사상이 존재한다.

$H^k(M)\cong H_{n-k}(M)$.

여기서 $H^k$는 $k$차 코호몰로지 군이고, $H_{n-k}$는 $(n-k)$차 호몰로지 군이다.

이는 기본류에 대한 교적(cup product)으로 인한 동형사상이다.

베티 수 $b_k$는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.

$b_k=b_{n-k}$.

참고 문헌

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Poincaré duality. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

같이 보기

• 세르 쌍대성
• 기본류