베티 수

베티 수(영어: Betti number)는 위상공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 $b_k$며, 0이거나, 양의 정수이거나, $\infty$이다. 좀 더 다루기 쉬운 (컴팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 $k_0$부터 $k\ge k_0$에 대하여 $b_k=0$이다.

역사 및 어원

앙리 푸앵카레가 엔리코 베티(이탈리아어: Enrico Betti)의 이름을 따서 명명하였다.

정의

위상공간 $X$, 음이 아닌 정수 $k$, 체 $\mathbb F$가 주어지면, $k$번째 베티 수 $b_k(X,\mathbb F)$는 $k$번째 특이 호몰로지 공간 $H_k(X;\mathbb F)$의 ($F$에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$b_k(X,\mathbb F)=\dim H_k(X;\mathbb F)$

일반적으로, $\mathbb F$가 주어지지 않았을 때에는 $\mathbb F=\mathbb Q$ (유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 $H_k(X;\mathbb Z)$의 계수와 같다. $\mathbb F$의 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 $k$가 주어지지 않으면 암묵적으로 $k=1$이다.

컴팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한 $k_0$ 이상으로는 $k\ge k_0$에 대하여 $b_k=0$이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식(영어: Poincaré polynomial)이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 $P(z)$는 다음을 만족한다.

$P(z)=\sum_{k=0}^\infty b_kz^k$

무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 함수열(영어: Poincaré series)을 정의할 수 있다.

성질

대략, 베티 수 $b_k$는 $k$차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다.

유한한 CW 복합체 $K$의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.

임의의 체 $\mathbb F$에 대하여, $\chi(K)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^ib_i(K,\mathbb F)$

여기서 $\chi(K)$는 오일러 표수이다.

임의의 (베티 수열이 유한한) 위상공간 $X$와 $Y$에 대하여 그 곱공간 $X\times Y$의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다. 즉 식으로 다음과 같다.

$P_{X\times Y}(z)=P_X(z)P_Y (z)$

닫힌 가향 n차원 다양체 $X$의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.

$b_k(X)=b_{n-k}(X)$

이는 푸앵카레 이중성 $H^k=H_{n-k}$에서 유도할 수 있다.