기본류

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대수적 위상수학에서, 기본류(基本類, 영어: fundamental class)는 다양체 전체에 해당하는 호몰로지 동치류이다.

정의[편집]

Mn차원 연결 가향다양체라고 하자. 그렇다면 그 최고차 호몰로지 군은 무한순환군과 동형이다.

H_n(M,\mathbb Z)\cong\mathbb Z

또한, M 위의 의 선택은 H_n(M)의 생성원(즉, 1 또는 −1)을 고르는 것과 같다. 따라서, 유향다양체의 경우 이 생성원 [M]\in H_n(M,\mathbb Z)M기본류라고 한다.

만약 M연결공간이지만 비가향공간이라면 정수 계수의 호몰로지를 정의할 수 없다. 하지만 \mathbb Z/2 계수의 호몰로지는 정의할 수 있다. 이 경우

H_n(M,\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2

이고, M기본류는 0이 아닌 원소 0\ne[M]\in H_n(M,\mathbb Z/2)이다.

만약 M이 경계 \partial M을 가진 콤팩트 유향다양체라면, 상대 호몰로지

H_n(M,\partial M,\mathbb Z)\cong\mathbb Z

이므로 마찬가지로 기본류를 정의할 수 있다.

성질[편집]

기본류는 푸앵카레 쌍대성의 쌍대화 개체이다. 즉, 푸앵카레 쌍대성은 \alpha\in H^k(M)

\alpha\mapsto[M]\frown\alpha\in H_{n-k}(M)

으로 대응시킨다.

참고 문헌[편집]