토렐리 정리

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대수기하학에서, 토렐리 정리(Torelli定理, 영어: Torelli theorem)는 리만 곡면이 그 야코비 다양체에 의하여 결정된다는 정리다. 즉, 리만 곡면의 모듈러스 공간에서 야코비 다양체로의 사상은 단사함수이다. K3 곡면[1]칼라비-야우 다양체[2]의 경우에도 유사한 정리가 존재한다.

정의[편집]

종수가 g리만 곡면들의 모듈러스 공간 \mathcal M_g는 (g>1인 경우) 3g-3차원 복소 공간이다. g차원 복소 주극성화 아벨 다양체의 모듈러스 공간

\mathcal A_g\cong\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)\backslash\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)

g(g+1)/2차원 복소 공간이다. 주기 사상(period mapping)에 의하여, 주어진 종수 g리만 곡면 \Sigma_g로부터 그 야코비 다양체

J(\Sigma_g)=H^1(\Sigma_g;\mathbb C)/H^1(\Sigma_g;\mathbb Z)

를 정의할 수 있다. 야코비 다양체는 g차원 아벨 다양체이므로, 이는 리만 곡면 모듈러스 공간 \mathcal M_g에서 아벨 다양체 모듈러스 공간 \mathcal A_g로 가는 사상

\iota\colon\mathcal M_g\to\mathcal A_g

를 정의한다. 토렐리 정리에 따르면, 이는 단사함수이다.

[편집]

종수가 g=0인 경우, \mathcal M_0\mathcal A_0 둘 다 하나의 점이므로 토렐리 정리는 자명하다.

g=1인 경우,

\mathcal M_0\cong\mathcal A_1\cong\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)

이다. (종수 1의 리만 곡면과 1차원 아벨 다양체 둘 다 타원 곡선이다.) 이 경우 주기 사상은 단사일 뿐만 아니라 전단사함수이다.

종수가 g=2,3인 경우에도 \dim\mathcal M_g=\dim\mathcal A_g이다. 이 경우, \iota(\mathcal M_g)\subset\mathcal A_g폐포\mathcal A_g 전체이다.[3]

종수가 g\ge4인 경우 \dim\mathcal M_g<\dim\mathcal A_g이다. 이 경우, \iota(\mathcal M_g)\subset\mathcal A_g는 진부분집합이며, 이를 결정짓는 문제를 숏키 문제(영어: Schottky problem)라고 한다.[3]

역사[편집]

루제로 토렐리(이탈리아어: Ruggiero Torelli)가 1913년 증명하였다.[4][5]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Friedman, Robert. A new proof of the global Torelli theorem for K3 surfaces. 《Annals of Mathematics》 120 (2): 237–269. doi:10.2307/2006942. JSTOR 2006942. Zbl 0559.14004.
  2. (영어) . arXiv:1112.1163.
  3. Debarre, Olivier. The Schottkey problem: an update.
  4. (이탈리아어) Torelli, Ruggiero (1913년). Sulle varietà di Jacobi. 《Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti》 22 (2): 98–103. JFM 44.0655.03. ISSN 0001-4435.
  5. (영어) Collino, Alberto (1987년). A simple proof of the theorem of Torelli based on Torelli’s approach. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 100: 16–20. doi:10.1090/S0002-9939-1987-0883393-4. MR883393.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Kulikov, Val. S. (2001). Torelli theorems. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.