세르 쌍대성

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대수기하학에서, 세르 쌍대성(Serre雙對性, 영어: Serre duality)은 복소다양체코호몰로지 사이에 존재하는 관계의 하나이다. (실수) 다양체에 존재하는 푸앵카레 쌍대성과 유사하지만, 복소 구조를 사용한다. 장피에르 세르의 이름을 땄다.

정의[편집]

Mn차원 복소다양체이고, EM 위의 해석적 벡터다발이라고 하자. M표준 선다발K라고 하자. 그렇다면 M의 코호몰로지 H^q(M,X) (X해석적 벡터다발)에는 다음과 같은 동형사상이 존재한다.

H^q(M,E)=H^{n-q}(M,K\otimes E^*)^*

여기서 ^*쌍대공간을 뜻한다.

푸앵카레 쌍대성은 코호몰로지류를 다양체 전체의 호몰로지류 [M]에 대하여 축약시켜 얻지만, 세르 쌍대성은 코호몰로지류를 표준 선다발 K에 대하여 축약시켜 얻는다.

특히, 칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발이 자명하므로 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다.

h^{p,q}=h^{p,n-q}

여기서 h^{p,q}=\dim_{\mathbb C}H^q(M,\Omega^p)호지 수이다.

더 일반적으로, 세르 쌍대성을 일반적인 연접층에 대하여 정의할 수 있다. M이 체 k에 대한 n차원 스킴이고 \mathcal FM 위의 연접층이라면, 다음이 성립한다.

\operatorname{Ext}^{n-q}(\mathcal F,\omega)=H^q(M,\mathcal F)^*

여기서 \omega쌍대화층(dualizing sheaf)라고 불리는 특별한 이다. 여기서 H^{n-q}{}^*=\hom(H^{n-q},k)쌍대공간이고, Ext는 Ext 함자다.