층 코호몰로지

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수학에서, 층 코호몰로지(層 cohomology, 영어: sheaf cohomology)는 아벨 군 값을 가진 에 정의되는 호몰로지 이론이다. 대역단면(global section) 함자유도 함자이다. 체흐 코호몰로지보다 더 추상적이지만, 대수기하학에서 다루기 더 편하다.

정의[편집]

X위상공간이고, \mathcal FX 위에 정의된, 아벨 군 값을 가진 이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 대역단면(global section) 함자를 생각하자.

\Gamma_X\colon\mathcal F\mapsto\mathcal F(X)

이는 X 위의 층들의 범주 \operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})로부터 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}로 가는 함자이며, 이는 좌완전 함자(left-exact functor)임을 보일 수 있다. 또한, 범주 \operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})에서는 단사 분해(injective resolution)가 항상 존재함을 보일 수 있다. 따라서 \Gamma_X우유도 함자(right-derived functor) R^i\Gamma_X를 정의할 수 있다. 층 코호몰로지H^i(X,\mathcal F)를 이 유도함자들로 정의한다. 즉,

H^i(X,\mathcal F)=R^i\Gamma_X(\mathcal F)

이다.

특이 코호몰로지와의 관계[편집]

X국소축약가능공간(locally contractible)이라고 하고, G가 임의의 아벨 군이라고 하자. 그렇다면 X 위의, G값을 가진 상수층(constant sheaf) \underline{G}의 층 코호몰로지 H^i(X,\underline{G})G 계수를 가진 특이 코호몰로지 H^i(X,G)동형이다.

참고 문헌[편집]