리만 곡면

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복소해석학에서, 리만 곡면(Riemann surface)은 1차원 복소다양체이다.

정의[편집]

리만 곡면은 복소 차원이 1차원인 복소다양체이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 미분다양체이다.

이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 유향 등각다양체(conformal manifold)로 정의할 수 있다. 등각 계량(conformal metric)은 바일 변환에 대한 리만 계량 텐서동치류이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 미분다양체이다. 2차원에서, 향(orientation)이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.

예제[편집]

성질[편집]

모든 2차원 가향 미분다양체는 복소 구조를 가져 리만 곡면을 이룰 수 있고, 그 역도 성립한다. 예를 들어, 뫼비우스의 띠나 2차원 실수 사영공간은 가향하지 아니하므로 복소 구조를 가질 수 없지만, 2차원 원환면이나 , 평면은 복소 구조를 가진다.

주어진 2차원 미분다양체는 보통 여러가지의 복소 구조를 지닐 수 있다. 주어진 2차원 미분다양체가 가질 수 있는 복소 구조의 집합은 대수적인 구조를 지니고, 이를 모듈러스 공간(space of moduli)이라고 한다. 예를 들어, 원환면의 모듈러스 공간은 \mathbb C/\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)이다. 종수가 g>1인 경우, 모듈러스 공간의 차원은 3g-3이다.

리만 곡면의 자기동형사상[편집]

리만 곡면의 자기동형사상군은 다음과 같다.

  • 종수(genus) 0:
    • 리만 구면의 자기동형사상은 뫼비우스 변환이다.
    • 구멍을 뚫은 리만 구면의 자기동형사상은 구멍들을 보존하는 뫼비우스 변환이거나 아니면 구멍들을 서로 바꾸는 뫼비우스 변환이다.
    • 열린 반평면(또는 열린 원판)의 자기동형사상은 실수 계수의 뫼비우스 변환 \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)이다.
    • 원환(annulus) \{a<|z|<1\}의 자기동형사상은 회전 z\mapsto\exp(i\theta)z 또는 반전 z\mapsto a/z이다. 이 사실은 프리드리히 쇼트키(Friedrich Hermann Schottky)가 1877년에 증명하였다.[1]
  • 종수 1:
    • 대부분의 복소 원환면의 자기동형사상군은 평행이동 U(1)\times U(1)과 180° 회전으로 생성된다. 다만, 수직(90°) 격자에 의하여 생성되는 복소 원환면의 경우 90° 회전도 자기동형사상을 이루고, 정육각형(60°) 격자에 의하여 생성되는 원환면의 경우 60° 회전도 자기동형사상을 이룬다.[2]
  • 종수 g\ge2인 경우, 자기동형사상군은 유한군이며, 그 크기는 84(g-1) 이하이다. 이를 후르비츠 자기동형사상 정리라고 하며, 아돌프 후르비츠(독일어: Adolf Hurwitz)가 증명하였다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Astala, K., T. Iwaniec, G. Martin, J. Onninen (2008). 〈Schottky’s theorem on conformal mappings between annuli〉, 《Complex Analysis and Dynamical Systems III: A Conference in Honor of the Retirement of Dov Aharonov, Lev Aizenberg, Samuel Krushkal, and Uri Srebro》, Contemporary Mathematics 455, American Mathematical Society, 35–39쪽. doi:10.1090/conm/455/08845. ISBN 978-0-8218-4150-1
  2. Piercey, Victor I. (2008년 1월 23일). Automorphism groups of elliptic curves over ℂ.

바깥 고리[편집]