리만 곡면

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

복소해석학에서, 리만 곡면(Riemann曲面, 영어: Riemann surface)은 1차원 복소다양체이다.

정의[편집]

리만 곡면은 복소 차원이 1차원인 복소다양체이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 미분다양체이다.

이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 유향 등각다양체(conformal manifold)로 정의할 수 있다. 등각 계량(conformal metric)은 바일 변환에 대한 리만 계량 텐서동치류이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 미분다양체이다. 2차원에서, 향(orientation)이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.

예제[편집]

성질[편집]

모든 2차원 가향 미분다양체는 복소 구조를 가져 리만 곡면을 이룰 수 있고, 그 역도 성립한다. 예를 들어, 뫼비우스의 띠나 2차원 실수 사영 공간은 가향하지 아니하므로 복소 구조를 가질 수 없지만, 2차원 원환면이나 , 평면은 복소 구조를 가진다.

주어진 2차원 미분다양체는 보통 여러가지의 복소 구조를 지닐 수 있다. 주어진 2차원 미분다양체가 가질 수 있는 복소 구조의 집합은 대수적인 구조를 지니고, 이를 모듈러스 공간(space of moduli)이라고 한다. 예를 들어, 원환면의 모듈러스 공간은 \mathbb C/\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)이다. 종수가 g>1인 경우, 모듈러스 공간의 차원은 3g-3이다.

리만 곡면의 자기동형사상[편집]

리만 곡면의 자기동형군은 다음과 같다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Astala, K.; T. Iwaniec, G. Martin, J. Onninen (2008). 〈Schottky’s theorem on conformal mappings between annuli〉. 《Complex Analysis and Dynamical Systems III: A Conference in Honor of the Retirement of Dov Aharonov, Lev Aizenberg, Samuel Krushkal, and Uri Srebro》. Contemporary Mathematics 455. American Mathematical Society. 35–39쪽. doi:10.1090/conm/455/08845. ISBN 978-0-8218-4150-1. 
  2. Piercey, Victor I. (2008-01-23). “Automorphism groups of elliptic curves over ℂ”. 

바깥 고리[편집]