리만 곡면

복소해석학에서, 리만 곡면(Riemann surface)은 1차원 복소다양체이다.

정의

리만 곡면은 복소 차원이 1차원인 복소다양체이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 미분다양체이다.

이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 유향 등각다양체(conformal manifold)로 정의할 수 있다. 등각 계량(conformal metric)은 바일 변환에 대한 리만 계량 텐서의 동치류이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 미분다양체이다. 2차원에서, 향(orientation)이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.

예제

• 복소 평면과 리만 구면은 리만 곡면이다.
• 주어진 리만 곡면의 열린 부분집합은 리만 곡면을 이룬다.
• 컴팩트 리만 곡면은 특이점이 없는 복소 사영 대수 곡선과 같다.

성질

모든 2차원 가향 미분다양체는 복소 구조를 가져 리만 곡면을 이룰 수 있고, 그 역도 성립한다. 예를 들어, 뫼비우스의 띠나 2차원 실수 사영공간은 가향하지 아니하므로 복소 구조를 가질 수 없지만, 2차원 원환면이나 구, 평면은 복소 구조를 가진다.

주어진 2차원 미분다양체는 보통 여러가지의 복소 구조를 지닐 수 있다. 주어진 2차원 미분다양체가 가질 수 있는 복소 구조의 집합은 대수적인 구조를 지니고, 이를 모듈러스 공간(space of moduli)이라고 한다. 예를 들어, 원환면의 모듈러스 공간은 $\mathbb C/\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$이다. 종수가 $g>1$인 경우, 모듈러스 공간의 차원은 $3g-3$이다.

리만 곡면의 자기동형사상

리만 곡면의 자기동형사상군은 다음과 같다.

• 종수(genus) 0:
  • 리만 구면의 자기동형사상은 뫼비우스 변환이다.
  • 구멍을 뚫은 리만 구면의 자기동형사상은 구멍들을 보존하는 뫼비우스 변환이거나 아니면 구멍들을 서로 바꾸는 뫼비우스 변환이다.
  • 열린 반평면(또는 열린 원판)의 자기동형사상은 실수 계수의 뫼비우스 변환 $\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$이다.
  • 원환(annulus) $\{a<|z|<1\}$의 자기동형사상은 회전 $z\mapsto\exp(i\theta)z$ 또는 반전 $z\mapsto a/z$이다. 이 사실은 프리드리히 쇼트키(Friedrich Hermann Schottky)가 1877년에 증명하였다.
• 종수 1:
  • 대부분의 복소 원환면의 자기동형사상군은 평행이동 $U(1)\times U(1)$과 180° 회전으로 생성된다. 다만, 수직(90°) 격자에 의하여 생성되는 복소 원환면의 경우 90° 회전도 자기동형사상을 이루고, 정육각형(60°) 격자에 의하여 생성되는 원환면의 경우 60° 회전도 자기동형사상을 이룬다.
• 종수 $g\ge2$인 경우, 자기동형사상군은 유한군이며, 그 크기는 $84(g-1)$ 이하이다. 이를 후르비츠 자기동형사상 정리라고 하며, 아돌프 후르비츠(독일어: Adolf Hurwitz)가 증명하였다.

같이 보기

• 복소다양체
• 켈러 다양체
• 리만-로흐 정리
• 균일화 정리

참고 문헌

• Farkas, Hershel M., Irwin Kra (1992). 《Riemann Surfaces》, Graduate Texts in Mathematics 71, 2판, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-2034-3. ISBN 978-1-4612-7391-2
• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Berlin, New York: Springer-Verlag. MR0463157. ISBN 978-0-387-90244-9
• Jost, Jürgen (2006). 《Compact Riemann Surfaces: An introduction to contemporary mathematics》. Berlin, New York: Springer-Verlag, 208–219쪽. doi:10.1007/978-3-540-33067-7. ISBN 978-3-540-33065-3
• Schlichenmaier, Martin (2007). 《An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Moduli Spaces》, 2, Berlin Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-71175-9. ISBN 978-3-540-71174-2
• Napier, Terrence, Mohan Ramachandran (2012). 《An Introduction to Riemann Surfaces》. Boston: Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4693-6. ISBN 978-0-8176-4692-9

바깥 고리

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Riemann surface. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• Gastesi, Pablo Arés. Riemann Surfaces.