리만-로흐 정리

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대수기하학에서, 리만-로흐 정리(Riemann-Roch 定理, 영어: Riemann–Roch theorem)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형함수들의 개수에 대한 정리다.

정의[편집]

M콤팩트 리만 곡면이라고 하자. M 위의 인자M의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자 D는 다음과 같은 꼴이다.

D=\sum_in_ix_i (x_i\in M, n_i\in\mathbb Z)

인자의 차수(degree)는 다음과 같다.

\deg\sum_in_ix_i=\sum_in_i.

\alphaM 위의 유리형 복소미분형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소미분형식은 물론 0차 또는 1차이다.) \alpha는 극(pole)과 영점(zero)들을 갖는다. 극들이 p_i이고, 그 차수가 각각 -n(p_i)라고 하자. 영점들이 q_j이고, 그 차수가 각각 n(q_j)라고 하자. 그렇다면 \alpha의 인자를 다음과 같이 정의한다.

\operatorname{div}(\alpha)=\sum_in(p_i)+\sum_jn(q_j)q_j.

유리형함수(즉, 0차 유리형 복소미분형식)의 인자를 주인자(principal divisor)라고 한다. 1차 유리형 복소미분형식의 인자를 표준 인자(canonical divisor)라고 한다.

인자 D에 대하여, \operatorname{div}(f)+D의 계수가 모두 음이 아닌 유리형함수 f들의 복소 벡터공간의 (복소) 차원을 I(D)라고 하자.

DM 위의 인자이고, K표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

I(D)-I(K-D)=\deg D+\chi(M)/2.

여기서 \chi(M)M오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) g로 쓰면

I(D)-I(K-D)=\deg D-g+1

이다.

선다발의 경우[편집]

인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면 M 위에 정칙 선다발 L이 있다고 하자. 그렇다면 코호몰로지 벡터 공간 H^0(M,\mathcal O(L))H^1(M,\mathcal O(L))을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 \dim H^k=h^k로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\chi(M,L)=h^0(M,\mathcal O(L))-h^1(M,\mathcal O(L))=\deg L-g+1

(여기서 \chi(M,L)L오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여,

H^1(M,\mathcal O(L))\cong H^1(M,\mathcal O(L^{-1}\otimes K))

따라서, L에 대응하는 인자류가 [D]라고 한다면

h^0(M,\mathcal O(L))=I(D)
h^1(M,\mathcal O(L))=I(K-D)

가 된다.

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x바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형함수들의 차원 I(D)는 다음과 같다.

종수 D=0 D=x D=2x D=3x D=4x D=5x I(nx)의 생성원 (n\ge g)
0 (리만 구) 1 2 3 4 5 6 1,z^{-1},\dots,z^{-n}
1 (타원곡선) 1 1 2 3 4 5 타원함수 \wp,\dots,\wp^{\lfloor n/2\rfloor},\wp\wp',\dots,\wp^{\lfloor n-3\rfloor}\wp'
2 1 1 1 2 3 4
3 1 1 1 1 2 3

g\ge 2이며 \deg D\le g인 경우, 특수한 점에서 I(D)가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는 I(K-D)>g-\deg D이다. 이를 바이어슈트라스 점이라고 한다. 예를 들어, g=2인 경우 I(2x)=2인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.

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리만-로흐 정리를 써서, 종수가 g인 콤팩트 리만 곡면의 표준 인자 K의 차수가 \deg K=2g-2임을 보일 수 있다.

  1. 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉, I(0)=1이다. 물론 \deg(0)=0이다.
  2. D=0으로 놓자. 그렇다면 1-I(K)=-g+1이다. 즉, I(K)=g이다.
  3. D=K로 놓자. 그렇다면 I(K)-1=\deg K-g1이다. 즉, \deg K=2g-2이다.

곡면 리만-로흐 정리[편집]

대수곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.[1]:362–363 대수적으로 닫힌 체 k에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비(영어: complete) 대수다양체) X 위에 베유 인자 D가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표\chi(D)라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\chi(D)=1+p_{\text{a}}(X)+\frac12 D.(D-K(X))

여기서 K(X)X표준 인자이고, D.D'는 두 인자 사이의 교차수(영어: intersection number)이며, p_\text{a}X산술종수이다.

일반화[편집]

곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다.

역사[편집]

구스타프 로흐

곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항 I(K-D)를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다.[2] 리만의 제자였던 구스타프 로흐(Gustav Roch)가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다.[3] 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.

곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Hartshorne, Robin (1977년). 《Algebraic Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 52, ISSN 0072-5285. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. MR0463157. Zbl 0367.14001. ISBN 978-0-387-90244-9
  2. Riemann, Bernhard (1857년). Theorie der Abel'schen Functionen. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 1857 (54): 115–155. doi:10.1515/crll.1857.54.115. ISSN 1435-5345.
  3. Roch, Gustav (1865년). Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 1865 (64): 372–376. doi:10.1515/crll.1865.64.372. ISSN 1435-5345.

바깥 고리[편집]