리만 사상 정리

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복소해석학에서 리만 사상 정리(Riemann寫像定理, 영어: Riemann mapping theorem)는 복소평면의 구멍이 없는 두 부분집합은 항상 쌍정칙함수를 통해 동형이라는 정리다.

정의[편집]

리만 사상 정리에 따르면, 임의의 두 연결 단일연결 열린 진부분집합 U,U'\subsetneq\mathbb C 사이에, 다음 성질들을 만족시키는 정칙함수 \phi\colon U\to U'이 존재한다.

열린 집합은 기하학적으로 매우 복잡한 형태를 할 수 있다. 예를 들어, 심지어 U의 경계가 프랙탈이어도 리만 사상 정리가 여전히 성립한다.

조건의 필요성[편집]

리만 사상 정리에서 등장하는 집합들은 단일연결 복소 1차원 리만 곡면이다. 이 두 조건 가운데 하나를 생략하면 더 이상 리만 사상 정리는 성립하지 않는다.

  • 복소 평면의 하나의 구멍을 가진 열린 부분집합 U\subset\mathbb C은 항상 \mathbb C\setminus\{0\} 또는 어떤 실수 0\le r<1에 대한 \{z\colon r<|z|<1\}와 쌍정칙함수에 대하여 동형이다. 그러나 이들 사이에는 쌍정칙함수가 존재하지 않는다.
  • 고차원의 경우, 등각 사상은 매우 드물며, 사실상 뫼비우스 변환밖에 없다.

역사[편집]

1851년에 베른하르트 리만이 박사 학위 논문에서, \partial U,\partial U'이 조각마다 매끈하다는 가정 아래 이 정리를 증명하였다.[1] 이 증명에서 리만은 디리클레 원리를 사용하였는데, 당시 이 원리는 "당연히" 옳다고 여겨졌다. 그러나 이후 카를 바이어슈트라스가 디리클레의 원리가 특수한 경우 성립하지 않는다는 반례를 제시하였고, 이후 다비트 힐베르트는 경계가 조각마다 매끈하다는 가정 아래, 리만의 원래 증명에서 사용되는 형태의 디리클레의 원리가 옳다는 것을 보였다.

1912년에 콘스탄티노스 카라테오도리가 경계에 대한 아무런 추가 조건 없이 리만 사상 정리를 증명하였다. 이후 1922년에 리스 프리제시페예르 리포트(헝가리어: Fejér Lipót)가 카라테오도리의 증명보다 더 간단한 증명을 발표하였다.

참고 문헌[편집]

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바깥 고리[편집]