복소평면

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복소평면에 나타낸 복소수 z켤레복소수의 기하학적 표현. 원점에서 점 z를 따라 그어진 파란색 선의 거리는 복소수 z절댓값을 나타내고 각 ¢은 z의 argument를 나타낸다.

수학에서, 복소평면(複素平面)은 복소수를 기하학적으로 표현하기 위해 개발된 좌표평면으로 서로 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 이것은 복소수의 실수부가 실수축에, 허수부가 허수축에 대응된 형태의 데카르트 좌표계로 생각할 수 있다.

복소평면의 개념은 복소수의 기하학적 해석을 가능하게 한다. 덧셈연산 하에서, 복소수들은 복소평면상에서 벡터처럼 더해진다. 두 복소수의 곱셈은 극좌표를 이용하면 쉽게 표현할 수 있다. 특히 절댓값이 1인 복소수 간의 곱셈은 회전하는 것처럼 행동한다.

정의[편집]

복소수는 다음과 같이 정의하는 수이다.

z=\mathrm{Re}z+i\mathrm{Im} z (\mathrm{Re}z,\mathrm{Im}z 는 실수, i=\sqrt{-1})

다시 말해, 하나의 복소수는 실수 두개로 이뤄진 하나의 순서쌍과 대응시킬수 있다. 하나의 순서쌍은 좌표평면의 한 점으로 대응되기 때문에, 복소수 역시 좌표평면상의 한 점으로 나타낼 수 있다. 일반적으로 실수부는 x좌표로, 허수부는 y좌표로 대응시킨다.

z(x,y)=x+iy

극좌표를 이용하여 z=x+iy를

z=r(\cos \theta+i\sin \theta)

라고 표현하며, 이 경우, 실수부와 허수부는 각각,

x=r\cos \theta
y=r\sin \theta

이다. 또한, 오일러의 공식을 이용하여

z=re^{i \theta}

라고 쓰기도 한다.

원점과 점z를 이은 직선과 실수축 사이의 각인 \theta는 z의 편각이라고 하며, 삼각함수는 주기가 2\pi이기 때문에 z의 편각이 \theta 일때, \theta+2n\pi (n은 임의의 정수) 역시 z의 편각이다. 편각중에서 구간 (-\pi,\pi]에 있는 것은 유일하며, 특별히 주편각이라고 한다. z의 편각을 나타내는 기호는 \mathrm{arg}\,z이며, 주편각은 \mathrm{Arg}\,z이다.

참조[편집]

  • Flanigan, Francis J. (1983). 《Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions》. Dover. ISBN 0-486-61388-7
  • Moretti, Gino (1964). 《Functions of a Complex Variable》. Prentice-Hall
  • Wall, H. S. (1948). 《Analytic Theory of Continued Fractions》. D. Van Nostrand Company Reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.
  • Whittaker, E. T. (1927). 《A Course in Modern Analysis》, Fourth, Cambridge University Press