복소평면

복소평면에 나타낸 복소수 z와 켤레복소수의 기하학적 표현. 원점에서 점 z를 따라 그어진 파란색 선의 거리는 복소수 z의 절댓값을 나타내고 각 ￠은 z의 argument를 나타낸다.

수학에서, 복소평면(複素平面)은 복소수를 기하학적으로 표현하기 위해 개발된 좌표평면으로 서로 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 이것은 복소수의 실수부가 실수축에, 허수부가 허수축에 대응된 형태의 데카르트 좌표계로 생각할 수 있다.

복소평면의 개념은 복소수의 기하학적 해석을 가능하게 한다. 덧셈연산 하에서, 복소수들은 복소평면상에서 벡터처럼 더해진다. 두 복소수의 곱셈은 극좌표를 이용하면 쉽게 표현할 수 있다. 특히 절댓값이 1인 복소수 간의 곱셈은 회전하는 것처럼 행동한다.

정의

복소수는 다음과 같이 정의하는 수이다.

$z=\mathrm{Re}z+i\mathrm{Im} z$ ($\mathrm{Re}z$,$\mathrm{Im}z$ 는 실수, $i=\sqrt{-1}$)

다시 말해, 하나의 복소수는 실수 두개로 이뤄진 하나의 순서쌍과 대응시킬수 있다. 하나의 순서쌍은 좌표평면의 한 점으로 대응되기 때문에, 복소수 역시 좌표평면상의 한 점으로 나타낼 수 있다. 일반적으로 실수부는 x좌표로, 허수부는 y좌표로 대응시킨다.

$z(x,y)=x+iy$

극좌표를 이용하여 z=x+iy를

$z=r(\cos \theta+i\sin \theta)$

라고 표현하며, 이 경우, 실수부와 허수부는 각각,

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

이다. 또한, 오일러의 공식을 이용하여

$z=re^{i \theta}$

라고 쓰기도 한다.

원점과 점z를 이은 직선과 실수축 사이의 각인 $\theta$는 z의 편각이라고 하며, 삼각함수는 주기가 $2\pi$이기 때문에 z의 편각이 $\theta$ 일때, $\theta+2n\pi$ ($n$은 임의의 정수) 역시 z의 편각이다. 편각중에서 구간 ($-\pi,\pi$]에 있는것은 유일하며, 특별히 주편각이라고 한다. z의 편각을 나타내는 기호는 $\mathrm{arg}\,z$이며, 주편각은 $\mathrm{Arg}\,z$이다.

참조

• Flanigan, Francis J. (1983). 《Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions》. Dover. ISBN 0-486-61388-7
• Moretti, Gino (1964). 《Functions of a Complex Variable》. Prentice-Hall
• Wall, H. S. (1948). 《Analytic Theory of Continued Fractions》. D. Van Nostrand Company Reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.
• Whittaker, E. T. (1927). 《A Course in Modern Analysis》, Fourth, Cambridge University Press