몰입 (수학)
미분기하학에서, 몰입(沒入, 영어: immersion) 또는 넣기는 두 매끄러운 다양체 사이, 정의역의 접공간으로부터 공역의 접공간에 대한 사상이 단사인 매끄러운 사상이다.
정의[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 각 점 에서, 실수 선형 변환
을 정의할 수 있다. 여기서 은 의 에서의 접공간이다.
만약 가 단사 함수라면, 를 에서의 몰입이라고 한다. 만약 가 모든 에서 몰입이라면, 를 단순히 몰입이라고 한다.
(반대로, 만약 가 전사 함수라면 를 침몰이라고 한다.)
성질[편집]
함의 관계[편집]
몰입은 매끄러운 매장보다 더 약한 개념이다. 즉, 모든 매끄러운 매장은 몰입이지만 그 역은 성립하지 않는다.
즉, 두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수에 대하여 다음이 성립한다.
- 매끄러운 매장 ⊆ 단사 몰입 ⊆ 몰입 ⊆ 매끄러운 함수
존재[편집]
차원 매끄러운 다양체 과 차원 매끄러운 다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
특히, 휘트니 몰입 정리(Whitney沒入定理, 영어: Whitney immersion theorem)에 따르면, 만약 이라면, 임의의 매끄러운 함수 은 몰입과 호모토픽하다. 만약 가정을 로 강화시킨다면, 결론을 몰입 대신 매끄러운 매장으로 강화시킬 수 있으며, 이를 휘트니 매장 정리(Whitney埋藏定理, 영어: Whitney embedding theorem)라고 한다.
단사성[편집]
두 매끄러운 다양체 , 사이의 몰입 이 주어졌다고 하자. 만약 이 연결 공간이자 콤팩트 공간이라면, 는 단사 함수이다.
예[편집]
클라인 병은 3차원 유클리드 공간 에 몰입될 수 있지만, 매끄럽게 매장될 수는 없다. 이는 3차원에 넣은 클라인 병은 항상 겹치는 부분이 있어, 원래 클라인 병과 위상 동형이 아니기 때문이다.
매장이 아닌 단사 몰입[편집]
심지어, 매끄러운 매장이 아닌 단사 몰입도 존재한다. 예를 들어, 오른쪽 그림과 같은 몰입을 생각해 보자. 이는 명백히 단사 함수지만, 상이 정의역과 위상 동형이 아니므로 매끄러운 매장이 아니다.
단사 함수가 아닌 몰입[편집]
임의의 매끄러운 다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 쌍대 대각 사상
은 몰입이지만, 일 경우 단사 함수가 아니다.
은 몰입이지만, 단사 함수가 아니다. 보다 일반적으로, 매끄러운 다양체의 피복 공간인 매끄러운 다양체
은 전사 함수인 몰입이며, 2겹 이상의 피복 공간일 경우 단사 함수가 아니다.
외부 링크[편집]
- “Immersion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Immersion of a manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Immersion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Immersion of smooth manifolds”. 《nLab》 (영어).