바이어슈트라스 타원함수

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바이어슈트라스 타원함수의 그래프. (g_2,g_3)=(1+i,2-3i)인 경우이며, 이 경우 주기는 (\omega_1,\omega_2)\approx(0.79+2.26i,2.44+0.31i)이다. 흰색은 극점, 검은색은 영점을 나타낸다.

바이어슈트라스 타원함수(Weierstraß楕圓函數, 영어: Weierstrass elliptic function)는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 \wp.

정의[편집]

바이어슈트라스 타원함수 \wp(z;\omega_1,\omega_2)는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 미분 방정식으로 정의할 수 있다.

격자합[편집]

z\in\mathbb C, \tau\in\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)에 대하여, 바이어슈트라스 타원함수 \wp(z;\tau)는 다음과 같다.

\wp(z;\tau)=\frac1{z^2}+\sum_{(m,n)\ne(0,0)}\left(\frac1{(z+m+\tau n)^2}-\frac1{(m+\tau n)^2}\right)

타원곡선 모듈러스 \tau 대신 격자 주기 \omega_1,\omega_2를 써서 다음과 같이 \wp(z;\omega_1,\omega_2)를 정의하기도 한다.

\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac1{z^2}+\sum_{(m,n)\ne(0,0)}\left(\frac1{(z+m\omega_1+n\omega_2)^2}-\frac1{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\right)=\omega_1^{-2}\wp(z/\omega_1;\omega_2/\omega_1)

미분 방정식[편집]

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.

\wp'(z;\omega_1,\omega_2)^2=4\wp(z;\omega_1,\omega_2)^3-g_2(\omega_1,\omega_2)\wp(z;\omega_1,\omega_2)-g_3(\omega_1,\omega_2)

여기서 \wp'(z;\omega_1,\omega_2u)=\partial wp(z;\omega_1,\omega_2)/\partial z이다. g_2g_3타원 불변량(영어: elliptic invariant)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기 (\omega_1,\omega_2)와 다음과 같은 관계를 가진다.

g_2(\omega_1,\omega_2)=60\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-4}
g_3(\omega_1,\omega_2)=140\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-6}

이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수

f\colon\mathbb C/\Lambda\to\mathbb{CP}^2
f\colon z\mapsto[1,\wp(z;\tau),\wp'(z;\tau)]

를 정의하면, 이는 원환면 \mathbb C/\Lambda로부터 타원곡선 y^2=4x^2+g_2x+g_3으로 가는, 복소다양체동형사상을 이룬다. 여기서 \Lambda\tau에 대한 격자

\Lambda=\{m+n\tau\colon m,n\in\mathbb Z\}

이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.

성질[편집]

바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다. 임의의 n_1,n_2\in\mathbb Z에 대하여,

\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\wp(z+n_1\omega_1+n_2\omega_2;\omega_1,\omega_2)

또한, 모듈러 매개변수 \tau에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다.

\wp(z;\tau)=\wp(z;\tau+1)=\wp(z;-1/\tau)

또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다.

\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\wp(-z;\omega_1,\omega_2)
\wp;(z;\omega_1,\omega_2)=-\wp'(-z;\omega_1,\omega_2)

바이어슈트라스 타원함수 \wp(-;\omega_1,\omega_2)타원 곡선 \mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle에서 리만 구면 \hat{\mathbb C}로 가는 2겹 분기 피복공간을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분기점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분기점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로 e_1,e_2,e_3이라고 쓰며, 다음과 같다.

\widehat\infty=\wp(0;\omega_1,\omega_2)
e_1(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_1/2;\omega_1,\omega_2)
e_2(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)
e_3(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_1/2+\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)

덧셈 공식[편집]

삼각함수야코비 타원함수와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 덧셈 공식(영어: addition formula)을 만족시킨다.


\wp(z+y)=\frac14\left(
\frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)}
\right)^2
-\wp(z)-\wp(y)

만약 z=y인 경우, 위 공식에 극한을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다.

\wp(2z)=\frac14\left(\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right)^2-2\wp(z)

야코비 타원함수와의 관계[편집]

바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.

\wp(z)=e_3+\frac{e_1-e_3}{\operatorname{sn}^2(w;m)}=e_2+ \left(e_1-e_3\right) \frac{\operatorname{dn}^2(w;m)}{\operatorname{sn}^{2}(w;m)}
= e_{1} + \left( e_1-e_3 \right) \frac{\operatorname{cn}^2(w;m)}{\operatorname{sn}^2(w;m)}

여기서

w=z\sqrt{e_1-e_3}
m=(e_2-e_3)/(e_1-e_3)

이다.

역함수[편집]

바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수는 다음과 같은 타원적분임을 알 수 있다.

u=\int_{\wp(u;\tau)}^\infty\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_2(\tau)-g_3(\tau)}}

이는 리만 구면에서 타원곡선으로 가는 사상으로 볼 수 있으며, \{e_1,e_2,e_3,\widehat\infty\}에서 분지점을 갖는다.

역사[편집]

카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]