바이어슈트라스 타원함수

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바이어슈트라스 타원함수(Weierstraß楕圓函數, 영어: Weierstrass elliptic function)는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 \wp.

정의[편집]

z\in\mathbb C, \tau\in\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)에 대하여, 바이어슈트라스 타원함수 \wp(z;\tau)는 다음과 같다.

\wp(z;\tau)=\frac1{z^2}+\sum_{(m,n)\ne(0,0)}\left(\frac1{(z+m+\tau n)^2}-\frac1{(m+\tau n)^2}\right)

타원곡선 모듈러스 \tau 대신 격자 주기 \omega_1,\omega_2를 써서 다음과 같이 \wp(z;\omega_1,\omega_2)를 정의하기도 한다.

\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac1{z^2}+\sum_{(m,n)\ne(0,0)}\left(\frac1{(z+m\omega_1+n\omega_2)^2}-\frac1{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\right)=\omega_1^{-2}\wp(z/\omega_1;\omega_2/\omega_1)

성질[편집]

바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다.

\wp(z;\tau)=\wp(z+1;\tau)=\wp(z+\tau;\tau)

또한, 모듈러 매개변수 \tau에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다.

\wp(z;\tau)=\wp(z;\tau+1)=\wp(z;-1/\tau)

미분 방정식[편집]

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.

\wp'(z;\tau)^2=4\wp(z;\tau)^3-g_2(\tau)\wp(z;\tau)-g_3(\tau)

여기서 \wp'(z;\tau)=\partial wp(z;\tau)/\partial z이다. g_2g_3타원 불변량(영어: elliptic invariant)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 다음과 같다.

g_2(\tau)=60\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m+n\tau)^{-4}
g_3(\tau)=140\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m+n\tau)^{-6}

이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수

f\colon\mathbb C/\Lambda\to\mathbb{CP}^2
f\colon z\mapsto[1,\wp(z;\tau),\wp'(z;\tau)]

를 정의하면, 이는 원환면 \mathbb C/\Lambda로부터 타원곡선 y^2=4x^2+g_2x+g_3으로 가는, 복소다양체동형사상을 이룬다. 여기서 \Lambda\tau에 대한 격자

\Lambda=\{m+n\tau\colon m,n\in\mathbb Z\}

이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.

이 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수가 다음과 같음을 알 수 있다.

u=\int_{\wp(u;\tau)}^\infty\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_2(\tau)-g_3(\tau)}}

역사[편집]

카를 바이어슈트라스가 1862년 베를린 대학교에서의 타원함수에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 야코비 타원함수들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.

참고 문헌[편집]