타원함수

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복소해석학에서, 타원함수(楕圓函數, 영어: elliptic function)는 복소 타원곡선 위에 정의된 유리형함수이다. 즉, 복소평면 위에 정의된, 두 개 방향으로 주기함수유리형함수다.[1]

정의[편집]

\omega_1,\omega_2\in\mathbb C가 0이 아닌 복소수이고, 또한 그 비가 실수가 아니라고 하자.

  • \omega_1,\omega_2\ne0
  • \omega_1/\omega_2\not\in\mathbb R

그렇다면

\Lambda=\{m\omega_1+n\omega_2\colon m,n\in\mathbb Z\}

격자를 이루며,

\mathbb C/\Lambda\equiv\mathbb C/(z\sim z+\Lambda)

타원곡선을 이룬다.

타원함수유리형함수 f\colon\mathbb C/\Lambda\to\hat{\mathbb C}이다. 여기서 \hat{\mathbb C}리만 구면이다. 이 경우, \omega_1,\omega_2f주기(영어: period)라고 한다.

분류[편집]

모든 타원함수는 바이어슈트라스 타원함수 \wp(z)로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 복소 타원곡선 L 위의 타원함수들의 \mathcal E_L을 생각하자. 그렇다면 다음과 같은 동형이 존재한다.[1]:18

\mathcal E_L\cong\mathbb C(\wp,\wp')/(\wp'^2-4\wp^3-g_2\wp-g_3)

여기서 \wp'(z)=d\wp(z)/dz이다. 다시 말해, 모든 타원곡선은 바이어슈트라스 타원함수와 그 도함수에 대한 유리함수로 나타낼 수 있다.

복소 타원곡선 L 위의, 짝함수인 타원함수들의 \mathcal E_L^+는 다음과 같다.[1]:18

\mathcal E_L^+\cong\mathbb C(\wp)

[편집]

대표적인 예로, 바이어슈트라스 타원함수 \wp(z;\omega_1,\omega_2)야코비 타원함수 \operatorname{sn}(z), \operatorname{cn}(z), \operatorname{dn}(z)가 있다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Koblitz, Neal (1993년). 《Introduction to elliptic curves and modular forms》, Graduate Texts in Mathematics 97, ISSN 0072-5285, 2판. doi:10.1007/978-1-4612-0909-6. Zbl 0804.11039. ISBN 978-1-4612-6942-7

바깥 고리[편집]