주기함수

주기함수(periodic function)란 일정 간격을 기준으로 반복되는 함수를 말한다. 일상적인 예로 시간에 대한 함수를 생각해 보면, 24시간을 기준으로 같은 시간값이 반복된다.

수학적 정의

함수 $f$의 정의역 집합 $E$에 $+$ 연산이 정의되어 있을 때, $f(x)$가 $E$의 모든 $x$에 대해

$f(x + t)=f(x)$

를 만족하면, $f(x)$는 주기함수이다.

또한, 모든 x에 대해서 이 조건 $f(x + t)=f(x)$를 만족하는 $t > 0$ 중에서 가장 작은 $T > 0$이 있을 때, 이 $T$를 함수 $f(x)$의 주기라 한다.

만약 집합 $E$에서 $+$ 연산이 교환법칙을 만족하지 않는다면 $T$가 연산 오른쪽에 쓰여 있을 때에만 정의가 성립한다.

예

$f(x)$를 실수의 소수점 아래의 값으로 정의하면,

$f(0.1) = f(1.1) = f(2.1) = f(3.1) = ... = 0.1$

$f(0.3) = f(1.3) = f(2.3) = f(3.3) = ... = 0.3$

과 같이, $f(x) = f(x + 1)$이 성립한다. 따라서 이 함수는 주기가 1이 된다.

$\sin, \cos$ 등의 삼각함수는 주기가 $2\pi$인 주기함수이다.

주기적인 수열

자연에서 발견할 수 있는 수열 중에 몇몇은 주기적이다. 예를 들어 유리수의 십진법 표기는 결국에는 주기성을 갖게 된다.

같이 읽기

• 주파수