타원곡선
대수기하학에서, 타원곡선(橢圓曲線, 영어: elliptic curve)은 간단히 말해 
형태의 방정식으로 정의되는 대수곡선으로서 첨점이나 교차점 등의 특이점이 없는 것이다. (계수체(coefficient field)의 지표가 2나 3인 경우 이 정의는 모든 비특이 3차 곡선들의 동형류를 포함하지 않는다.) 이는 대수기하학과 수론의 중요한 연구 대상이다.
중근을 갖지 않는 임의의 3차 혹은 4차 다항식 P에 대해 y2 = P(x)는 종수(genus) 1의 비특이 평면 곡선의 방정식이며, 이 식으로 정의되는 곡선 또한 타원곡선이라 한다. 보다 일반적으로는 종수가 1인 임의의 비특이 대수곡선을 타원곡선이라 한다.
복소수체 상의 타원곡선은 원환면을 복소 사영공간에 묻은 것에 대응된다. 이는 임의의 체로 일반화할 수 있으며, 각 체 상의 타원곡선의 점들은 아벨 군을 이룬다.
목차 |
역사와 어원 [편집]
타원적분(elliptic integral)에서 그 이름을 땄다. 이름과는 달리, 타원과 직접적인 관련이 없다. 특히, 타원은 곡선으로서 타원곡선이 아니다.
정의 [편집]
가 체라고 하자. 타원곡선은 에 대한, 특이점(singular point)이 없는, 원점이 주어진 1차원 사영 대수다양체이다. 여기서 원점이 주어진 대수다양체란 순서쌍 
(
)을 의미한다.
체의 표수가 2나 3이 아닌 경우, 타원곡선은 다음과 같은 꼴의 식의 해의 집합으로 나타낼 수 있다.
여기서 
는 2차원 사영공간의 동차좌표이다. 이렇게 나타낸 경우, 원점은 
이 된다. 이 점은 
평면에서의 "무한대"에 해당한다.
실수체 상의 경우 [편집]
타원곡선에 대한 엄격하고 올바른 정의를 내리기 위해서는 대수기하학에 대한 어느 정도의 배경 지식이 필요하다. 그러나, 실수체 상에서 정의된 타원곡선들에 대해서는 고등학교 수준의 대수학과 기하학에 대한 지식만으로도 어느 정도 설명을 하는 것이 가능하다.
실수체 상의 타원곡선이란, 실수 a와 b에 대해 방정식
- y2 = x3 + a x + b
로 정의되는 평면곡선이다. 1이 아닌 3차항의 계수와 0이 아닌 2차항의 계수는 x,y를 다시 정의함으로써 흡수시킬 수 있기 때문에, 우변이 임의의 x의 3차식이면 언제나 이 형태로 만들 수 있다. 이런 형태의 식을 바이어슈트라스 방정식이라고 한다.
예를 들어, 다음의 그림들은 방정식 y2 = x3 − x와 y2 = x3 − x + 1로 정의된 실수체 상의 타원곡선의 그래프이다.
타원곡선의 정의에는 이 곡선이 특이점을 갖지 않는다, 즉 비특이하다는 조건이 포함된다. 기하학적으로 말하자면 이는 곡선의 그래프가 첨점이나 교차점이 없다는 뜻이다. 또한, 이는 판별식
- Δ = −16(4a3 + 27b2)
이 0이 아니라는 대수적인 조건과 동치이다. (이 판별식 표현에서 −16이라는 것이 아무 의미가 없는 것처럼 보일 수 있으나, 타원곡선을 깊이 공부하다보면 아주 중요한 역할을 하게 된다.)
비특이 대수곡선은 판별식이 양수일 경우 두개의 연결성분을 가지고, 음수일 경우에는 하나의 연결성분만을 가진다. 예를 들자면, 위의 그래프에서 첫 번째 곡선의 판별식은 64, 두 번째 곡선의 판별식은 −368이다.
응용 [편집]
타원곡선은 수론에 등장한다. 예를 들어, 타원곡선에 대한 정리인 모듈성 정리(다니야마-시무라 가설)는 페르마의 마지막 정리를 증명하는데 사용되었다. 또한, 유한체에 대한 타원곡선은 암호론에 응용된다. 이를 타원곡선 암호라고 한다.
참고 문헌 [편집]
- (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Elliptic curve. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
- Tate, John T. (1974년). The arithmetic of elliptic curves. 《Inventiones Mathematicae》 23 (3–4): 179–206. doi:10.1007/BF01389745. MR0419359. Zbl 0296.14018. ISSN 0020-9910.
