역함수

함수 f와 그 역함수 f^-1

역함수(逆函數, 문화어: 거꿀함수)란 어떤 함수가 있을 때, 그 함수의 결과값을 넣으면 원래 입력값이 나오는 함수이다. 수학적으로 표현하면, x에 대한 함수 y=f(x)에서 각 y에 해당하는 x의 값이 하나뿐일 경우, 즉 f가 전단사 함수일 경우에 이 함수의 역함수는 f^-1(y) = x가 된다. 이때 f^^-1이라는 기호에서 -1은 거듭제곱이 아니다.

어떤 함수가 전단사 함수가 아닐 경우에도, 그 함수의 정의역을 제한하여 그 범위 내에서는 전단사 함수가 되게 한 다음 역함수를 정의하는 경우도 있다. 삼각함수의 역함수는 이러한 방식으로 정의된다. 예를 들어, y = sin x는 x의 정의역이 실수 전체일 경우는 전단사 함수가 아니지만, −π/2 ≤ x ≤ π/2의 범위에서는 전단사 함수가 되고, 이 함수의 역함수 x = arcsin y는 이 범위 내에서 정의된다.

표기

역함수를 나타내는 기호는 $f^{-1}$과 같이 위첨자에 -1을 붙여 나타내는데, 이때 거듭제곱, 도함수 등에서도 비슷한 기호를 사용하기 때문에 혼동의 여지가 있다.

예를 들어, $f^{-1}(x)$는 $f(x)^{-1}$와는 다른 의미를 가진다. 앞의 표기는 역함수를 나타내는 반면, 뒤의 표기는 역수를 나타낸다. 또한 이와 비슷하게, $\sin^{-1}(x)$는 삼각함수의 역함수를 의미하지만 $(\sin(x))^{-1}$는 단순히 $\frac{1}{\sin(x)}$을 나타낸다.

성질

• 만약 어떤 함수의 역함수가 존재한다면, 그 역함수는 단 하나뿐이다.
• 함수 f와 함수 g의 합성함수의 역함수는 g의 역함수와 f의 역함수를 합성한 함수와 같다. 즉, $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$과 같다.
• (역함수 정리) 역함수의 미분은 $(f^{-1})'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}$이다.