연속체 가설

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집합론에서, 연속체 가설(連續體假說, 영어: continum hypothesis, 약자 CH)은 실수의 모든 부분집합은 가산 집합이거나 아니면 실수와 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

정의[편집]

연속체 가설은 다음과 같은 명제이다.

\aleph_1=2^{\aleph_0}

즉, \aleph_0(가산 무한 집합의 크기)과 2^{\aleph_0} (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다.

일반화 연속체 가설(一般化連續體假說, 영어: generalized continuum hypothesis, 약자 GCH)은 다음과 같은 명제이다.

임의의 순서수 \alpha\in\operatorname{Ord}에 대하여, \aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}

성질[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 무모순적이라면, 일반화 연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC로 일반화 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에 알려진 모든 큰 기수 공리를 추가하여도, (일반화) 연속체 가설은 여전히 독립적이다.

연속체 가설의 증명[편집]

ZFC에 구성가능성 공리(V=L)를 추가하면, 일반화 연속체 가설이 참이다.

연속체 가설의 반증[편집]

ZFC에 크리스토퍼 프라일링(영어: Christopher F. Freiling)의 대칭 공리(영어: axiom of symmetry)를 추가하면, 연속체 가설은 거짓이다.[1] 프라일링은 대칭 공리가 확률론적으로 직관적이라고 주장하였으나, 이는 오늘날 논란이 되고 있다.

휴 우딘(영어: W. Hugh Woodin)은 소위 오메가 논리(영어: Ω-logic)를 도입하여, 연속체 가설이 거짓이며, 사실

\aleph_2=2^{\aleph_0}

이라는 논의를 폈다. [2][3] 물론, 이는 수학적인 증명이 아니다. 우딘의 논의는 오늘날에도 계속 논란이 되고 있다.

일반화 연속체 가설의 함의[편집]

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 추가하면, 선택 공리를 증명할 수 있다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 다음이 성립한다.[4]:147

\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}=\begin{cases}
\aleph_{\beta+1}&\alpha\le\beta+1\\
\aleph_\alpha&\beta+1<\alpha,\;\aleph_\beta<\operatorname{cf}(\aleph_\alpha)\\
\aleph_{\alpha+1}&\beta+1<\alpha,\;\aleph_\beta\ge\operatorname{cf}(\aleph_\alpha)\\
\end{cases}

여기서 \operatorname{cf}는 기수의 공종도(영어: cofinality)이다.

역사[편집]

연속체 가설은 게오르크 칸토어가 처음 제기하였다. 칸토어는 연속체 가설이 참이라고 믿고 여러 해 동안 그 증명을 위해 노력했다. 다비트 힐베르트는 1900년 세계 수학자 대회에서 연속체 가설을 힐베르트의 문제들의 1번 문제로 선정하였다. 1905년에 영국의 수학자 필립 조던(영어: Philip Jourdain)이 일반화 연속체 가설을 제기하였다.[5]

쿠르트 괴델은 1940년에 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 반증할 수 없다는 것을 보였다.[6] 폴 코언은 1963년에 강제법을 도입하여, 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다는 것을 보였다.[7][8] 이 공로로 코언은 1966년 필즈상을 수상하였다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Freiling, Chris (1986년 3월). Axioms of symmetry: throwing darts at the real number line. 《Journal of Symbolic Logic》 51 (1): 190–200. JSTOR 2273955.
  2. (영어) Woodin, W. Hugh (2001년 6월). The continuum hypothesis, part I. 《Notices of the American Mathematical Society》 48 (6): 567–576.
  3. (영어) Woodin, W. Hugh (2001년 8월). The continuum hypothesis, part II. 《Notices of the American Mathematical Society》 48 (7): 681–690.
  4. (영어) Hayden, Seymour, John F. Kennison (1968년). 《Zermelo–Fraenkel Set Theory》. Columbus, Ohio, U.S.: Charles E. Merrill Publishing Company
  5. (영어) Jourdain, Philip E. B. (1905년). On transfinite cardinal numbers of the exponential form. 《Philosophical Magazine, Series 6》 9: 42–56. doi:10.1080/14786440509463254.
  6. (영어) Gödel, K. (1940년). 《The consistency of the continuum-hypothesis》. Princeton University Press
  7. (영어) Cohen, Paul J. (December 15, 1963). The independence of the continuum hypothesis. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 50 (6): 1143–1148. PMID 16578557. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. JSTOR 71858.
  8. (영어) Cohen, Paul J. (January 15, 1964). The independence of the continuum hypothesis, II. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 51 (1): 105–110. PMID 16591132. doi:10.1073/pnas.51.1.105. JSTOR 72252.
  • Cohen, P. J.: Set Theory and the Continuum Hypothesis. New York: W. A. Benjamin, 1966.
  • Dales, H. G. and W. H. Woodin: An Introduction to Independence for Analysts. Cambridge (1987).
  • Foreman, Matt: Has the Continuum Hypothesis been Settled?
  • Gödel, K.: What is Cantor's Continuum Problem?, reprinted in Benacerraf and Putnam's collection Philosophy of Mathematics, 2nd ed., Cambridge University Press, 1983
  • Maddy, Penelope: Believing the Axioms, I, Journal of Symbolic Logic, Vol. 53, no. 2 (1988), pp. 481-511.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]