연속체 가설

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집합론에서, 연속체 가설(連續體假說, continuum hypothesis, 약자 CH)은 실수의 모든 부분집합은 가산 집합이거나 아니면 실수와 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

정의[편집]

연속체 가설은 다음과 같은 명제이다.

\aleph_1=2^{\aleph_0}

즉, \aleph_0(가산 무한 집합의 크기)과 2^{\aleph_0} (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다.

일반화 연속체 가설(一般化連續體假說, 영어: generalized continuum hypothesis, 약자 GCH)은 다음과 같은 명제이다.

임의의 순서수 \alpha\in\operatorname{Ord}에 대하여, \aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}

성질[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 무모순적이라면, 일반화 연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC로 일반화 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에 알려진 모든 큰 기수 공리를 추가하여도, (일반화) 연속체 가설은 여전히 독립적이다.

연속체 가설을 함의하는 명제[편집]

ZFC에 구성 가능성 공리(V=L)를 추가하면, 일반화 연속체 가설이 참이다.

연속체 가설의 부정을 함의하는 명제[편집]

ZFC에 크리스토퍼 프라일링(영어: Christopher F. Freiling)의 대칭 공리(영어: axiom of symmetry)를 추가하면, 연속체 가설은 거짓이다.[1] 프라일링은 대칭 공리가 확률론적으로 직관적이라고 주장하였으나, 이는 오늘날 논란이 되고 있다.

휴 우딘(영어: W. Hugh Woodin)은 소위 오메가 논리(영어: Ω-logic)를 도입하여, 연속체 가설이 거짓이며, 사실

\aleph_2=2^{\aleph_0}

이라는 논의를 폈다.[2][3] 물론, 이는 수학적인 증명이 아니다. 우딘의 논의는 오늘날에도 계속 논란이 되고 있다.

고유 강제법 공리(영어: proper forcing axiom)를 가정하면,

2^{\aleph_0}=\aleph_2

이므로, 역시 연속체 가설이 부정된다.

(일반화) 연속체 가설이 함의하는 명제[편집]

연속체 가설은 마틴 공리를 자명하게 함의한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 추가하면, 선택 공리를 증명할 수 있다.

일반화 연속체 가설은 기수의 산술을 완전히 결정한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 다음이 성립한다.[4]:147

\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}=\begin{cases}
\aleph_{\beta+1}&\alpha\le\beta+1\\
\aleph_\alpha&\beta+1<\alpha,\;\aleph_\beta<\operatorname{cf}(\aleph_\alpha)\\
\aleph_{\alpha+1}&\beta+1<\alpha,\;\aleph_\beta\ge\operatorname{cf}(\aleph_\alpha)\\
\end{cases}

여기서 \operatorname{cf}는 기수의 공종도이다.

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 모든 기수 \kappa에 대하여, 기멜 함수는 다음과 같다.

\gimel(\kappa)=\kappa^+

또한, 특이 기수 가설이 (자명하게) 성립하게 된다.

역사[편집]

연속체 가설은 게오르크 칸토어가 처음 제기하였다. 칸토어는 연속체 가설이 참이라고 믿고 여러 해 동안 그 증명을 위해 노력했다. 다비트 힐베르트는 1900년 세계 수학자 대회에서 연속체 가설을 힐베르트의 문제들의 1번 문제로 선정하였다. 1905년에 영국의 수학자 필립 조던(영어: Philip Jourdain)이 일반화 연속체 가설을 제기하였다.[5]

쿠르트 괴델은 1938년에 일반화 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 반증할 수 없다는 것을 보였다.[6][7] 구체적으로, 괴델은 구성 가능 전체가 ZFC의 모형이며, 이 모형에서는 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다. 폴 코언은 1963년에 강제법을 도입하여, 연속체 가설을 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다는 것을 보였다.[8][9] 이 공로로 코언은 1966년 필즈상을 수상하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Freiling, Chris (1986년 3월). “Axioms of symmetry: throwing darts at the real number line” (영어). 《Journal of Symbolic Logic》 51 (1): 190–200. JSTOR 2273955. 
  2. Woodin, W. Hugh (2001년 6월). “The continuum hypothesis, part I” (영어). 《Notices of the American Mathematical Society》 48 (6): 567–576. 
  3. Woodin, W. Hugh (2001년 8월). “The continuum hypothesis, part II” (영어). 《Notices of the American Mathematical Society》 48 (7): 681–690. 
  4. Hayden, Seymour; John F. Kennison (1968). 《Zermelo–Fraenkel Set Theory》 (영어). Columbus, Ohio, U.S.: Charles E. Merrill Publishing Company. 
  5. Jourdain, Philip E. B. (1905). “On transfinite cardinal numbers of the exponential form” (영어). 《Philosophical Magazine, Series 6》 9: 42–56. doi:10.1080/14786440509463254. 
  6. Gödel, Kurt (1938). “The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis” (영어). 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》. doi:10.1073/pnas.24.12.556. JFM 64.0035.01. JSTOR 87239. PMC 1077160. PMID 16577857. Zbl 0020.29701. 
  7. Gödel, K. (1940). 《The consistency of the continuum-hypothesis》 (영어). Princeton University Press. 
  8. Cohen, Paul J. (1963년 12월 15일). “The independence of the continuum hypothesis” (영어). 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 50 (6): 1143–1148. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. JSTOR 71858. PMC 221287. PMID 16578557. 
  9. Cohen, Paul J. (1964년 1월 15일). “The independence of the continuum hypothesis, II” (영어). 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 51 (1): 105–110. doi:10.1073/pnas.51.1.105. JSTOR 72252. PMC 300611. PMID 16591132. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]