연속체 가설

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연속체 가설(連續體假說, 영어: continum hypothesis)은 무한집합의 크기에 관한 가설이다. 게오르크 칸토어가 무한집합의 크기를 비교하기 위해 기수의 개념을 도입하고 정수의 집합은 실수의 집합보다 크기가 작다는 것을 증명하였다. 연속체 가설은 다음과 같이 기술할 수 있다.

정수의 집합보다 크고 실수의 집합보다 작은 크기를 갖는 무한집합은 존재하지 않는다.

혹은, 수학적으로 기술하면 정수의 집합의 기수 |\mathbb{Z}|\aleph_0(aleph-null)이고, 실수의 집합의 기수 |\mathbb{R}|2^{\aleph_0}라고 할 때 연속체 가설은 다음을 의미한다.

\not \exists \mathbb{A}: \aleph_0 < |\mathbb{A}| < 2^{\aleph_0}.

이것은 다음을 의미한다.

|\mathbb{R}| = \aleph_1

실수의 집합은 또한 연속체라고도 불린다. 연속체 가설을 더 일반화한 일반 연속체 가설은 다음과 같다.

모든 정수 \alpha에 대해 2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}

집합의 크기[편집]

연속체 가설을 수학적으로 기술하기 위해서는 기수에 대한 정의가 필요하다. 두 집합 ST에 대해 일대일 대응 S \leftrightarrow T가 존재하면 두 집합 ST는 같은 기수를 갖는다고 정의된다. 직관적으로 이것은 ST의 모든 원소들을 서로 정확히 하나 당 하나씩 짝지을 수 있음을 의미한다. 예를 들어 {바나나, 사과, 배}는 {노랑, 빨강, 초록}과 같은 기수를 갖는다.

정수나 유리수의 집합과 같은 무한집합에서 이것은 증명하기 어려운 문제가 된다. 모든 유리수들의 집합을 예로 들면, 단순하게 생각할 때 유리수의 개수는 정수보다 많고, 실수보다는 적을 거라고 생각하여 연속체 가설을 부정할 수도 있다. 그러나 정수의 집합과 유리수의 집합 사이에는 일대일 관계가 성립하며, 따라서 정수와 유리수의 집합은 같은 크기를 갖는다. 이 둘은 셀 수 있는 집합이 된다. 칸토어의 대각선 논증으로 정수와 연속체는 서로 다른 기수를 갖는다는 것을 증명할 수 있다.

연속체 가설은 정수의 집합을 포함하는 연속체(실수의 집합)의 부분집합이 정수와 연속체 둘 중 하나와 같은 기수를 갖는다는 것을 의미한다.

증명 불가능성[편집]

칸토어는 연속체 가설이 참이라고 믿고 여러 해 동안 그 증명을 위해 노력했다. 1900년 파리에서 열린 세계 수학자 대회에서 다비트 힐베르트가 제안한 힐베르트의 문제들 가운데 첫 번째 문제가 연속체 가설이었다.

쿠르트 괴델1940년에 연속체 가설이 표준적인 체르멜로-프렝켈 집합론으로 반증이 불가능하며 선택공리를 도입해도 마찬가지임을 보였다. 폴 코언1963년에 동일한 공리계에서 연속체 가설을 증명하는 것이 불가능함을 보였다. 따라서 연속체 가설은 선택공리를 더한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)와 독립적이다. 이 결론은 체르멜로-프렝켈 공리계가 무모순임을 가정하고 있으며 많은 사람들이 실제로 그렇다고 믿는다.

모순이 없고 충분히 강력한 어떤 공리계에서 증명도 반증도 불가능한 명제가 존재한다는 것은 괴델의 불완전성 정리에 의해 이미 알려진 사실이다. 그러나 연속체 가설의 독립성은 수학의 기본적 체계가 세워진 이후 중요하고 흥미로운 명제가 결정불가능함이 보인 첫 번째 예이기 때문에 여전히 논란의 대상이 되고 있다.

연속체 가설은 해석학, 일반위상수학, 측도론 등의 이론과 밀접한 연관을 맺고 있다. 연속체 가설의 독립성은 이들 분야에서 많은 가설들이 결정불가능하다는 결론을 내게 하였다.

참고문헌[편집]

  • Cohen, P. J.: Set Theory and the Continuum Hypothesis. New York: W. A. Benjamin, 1966.
  • Dales, H. G. and W. H. Woodin: An Introduction to Independence for Analysts. Cambridge (1987).
  • Foreman, Matt: Has the Continuum Hypothesis been Settled?
  • Freiling, Chris: Axioms of Symmetry: Throwing Darts at the Real Number Line, Journal of Symbolic Logic, Vol. 51, no. 1 (1986), pp. 190-200.
  • Gödel, K.: The Consistency of the Continuum-Hypothesis. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1940.
  • Gödel, K.: What is Cantor's Continuum Problem?, reprinted in Benacerraf and Putnam's collection Philosophy of Mathematics, 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of Gödel's arguments against CH.
  • Maddy, Penelope: Believing the Axioms, I, Journal of Symbolic Logic, Vol. 53, no. 2 (1988), pp. 481-511.
  • McGough, Nancy: The Continuum Hypothesis.
  • Woodin, W. Hugh: The Continuum Hypothesis, Part I, Notices of the AMS, Vol. 48, no. 6 (2001), pp. 567-576
  • Woodin, W. Hugh: The Continuum Hypothesis, Part II, Notices of the AMS, Vol. 48, no. 7 (2001), pp. 681-690

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