기수 (수학)

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0은 가장 작은 무한기수이다.
수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

수학에서, 기수(基數, 영어: cardinal number)는 의 일종으로 집합크기를 나타내기 위해 사용된다. 여기에서 크기는 간단히 말해 포함된 원소의 수를 뜻한다. 유한집합의 크기는 자연수로 나타낼 수 있으나, 무한집합의 크기를 나타내기 위해서는 보다 일반적인 기수의 개념이 필요하다. 무한집합의 진부분집합은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 크기를 가질 수도 있다. 그러나, 모든 무한집합이 같은 크기를 갖는 것은 아니며, 실제로는 무한집합들 사이에도 그 크기에 다양한 구분이 있다.

기수는 0, 1, 2, 3, \cdots n, \cdots ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \aleph_{\alpha}, \cdots 등으로 진행된다. 즉, 가장 작은 기수들은 0자연수들이며, 그 뒤에는 알레프 수들이 따른다. 임의의 순서수가 알레프 수의 첨수(index)가 될 수 있으며, 따라서 어떤 의미에서 알레프 수는 순서수 만큼이나 많다. 동시에, 자연수와 알레프 수는 순서수들의 모임의 부분모임이다. 선택공리를 가정하지 않을 경우에는 알레프 수가 아닌 무한기수가 있을 수도 있다.

정의[편집]

동치류를 사용한 정의[편집]

두 집합 S, T사이에 전단사 함수가 존재한다면 S\approx T라고 하자. 이는 (집합론적인 문제를 무시하면) 동치 관계를 이룬다. 그렇다면 기수는 집합의 이 동치 관계에 대한 동치류로 정의할 수 있다. 그러나 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이러한 동치류는 고유 모임이 되며, 이는 기술적으로 문제를 일으킨다. 예를 들어, 기수들의 집합을 정의할 수 없다. 반면, 형 이론이나 새 기초(영어: New Foundations) 등의 체계에서는 이 정의를 그대로 사용할 수 있다. 예를 들어, 형 이론을 사용하는 《수학 원리》에서 이 정의가 사용된다.

폰 노이만 정의[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합의 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이는 존 폰 노이만이 도입한 정의다.

집합 X크기 \operatorname{card}(X)전단사 함수 X\to\alpha가 존재하는 가장 작은 순서수 \alpha이다. 특정한 집합의 크기가 되는 순서수기수라고 한다. 예를 들어, 모든 자연수는 기수이며, 순서수 \omega는 기수 \aleph_0이다. 반면, 순서수 \omega+1이나 \omega2, \omega^\omega, \omega^{\omega^{\omega}} 따위는 \omega와 같은 집합의 크기를 가지므로 기수가 아니다.

스콧 정의[편집]

선택 공리를 가정하지 않는다면, 위와 같은 폰 노이만 정의를 사용할 수 없다. 이를 피하기 위해 다음과 같은, 대너 스콧(Dana Scott)이 도입한 정의를 사용할 수 있다. 이 경우, 집합 X크기 \operatorname{card}(X)는 이와 같은 계수를 갖는 모든 집합들의 집합이며, 기수는 어떤 집합의 크기가 되는 집합이다.

분류[편집]

기수는 순서수의 경우와 비슷하게, 세 가지의 분류로 나눌 수 있다. 모든 기수는 다음 세 모임 가운데 하나에 속한다.

  • 0 (가장 작은 기수)
  • 따름기수
  • 극한기수

따름기수[편집]

순서수의 경우와 비슷하게 기수에 대해서도 따름기수(영어: successor cardinal)를 정의할 수 있다. 유한 기수의 따름기수는 따름순서수와 차이가 없으나, 무한의 경우에는 무한순서수와 그 따름순서수의 크기가 같으므로 다른 정의를 필요로 한다. 따라서, 폰 노이만 기수 배정법선택공리를 이용해 기수 κ의 따름기수 κ+를 다음과 같이 정의한다:

\kappa^+ = |\inf \{ \lambda \in\operatorname{Ord} \ |\ \kappa < |\lambda| \}|.

여기에서 \operatorname{Ord}는 순서수들의 모임이다. 즉, κ로부터의 단사함수가 존재하지만 κ로의 단사함수는 존재하지 않는 가장 작은 순서수의 크기를 κ+라 한다.

하르톡스의 정리에 따르면 임의의 정렬순서가능한 기수에 대해 그보다 더 큰 정렬순서가능한 기수를 구성할 수 있으므로, 위의 집합이 공집합이 아님을 알 수 있다. 또한 순서수는 정렬집합이므로 최소원소가 실제로 존재한다. 따라서 κ와 κ+ 사이에 기수가 존재하지 않음을 알 수 있다. 위의 따름기수 연산은 수많은 순서수를 건너뛰며, 실제로 임의의 무한기수는 극한순서수이다. 즉, 기수들은 순서수들 중에 상당히 드물게 분포하는 것이다.

극한기수[편집]

역시 순서수의 경우와 마찬가지로, 따름기수가 아니고 0도 아닌 기수를 극한기수(極限基數, 영어: limit cardinal)라 한다. 또한 이를 약극한기수라고 부르기도 하는데 이는 아래에서 정의할 강극한기수와 구별하기 위함이다. 위의 논의에서 알 수 있듯 극한기수라는 것은 극한순서수보다 훨씬 강한 조건이다. 그러나 알레프 연산을 적용하면 둘 사이의 관계를 볼 수 있는데, \aleph_{\alpha}가 극한기수일 필요충분조건은 α가 극한순서수이거나 0이라는 것이다.

멱집합 공리가 제공하는 멱집합 연산을 이용하면 어떤 집합에서 출발하든 그보다 훨씬 더 큰 집합으로 나아갈 수 있다. 이를 이용해, 멱집합 연산까지 사용해도 도달할 수 없는 기수를 강극한기수라 정의하자. 보다 구체적으로 말해, 기수 λ가 강극한기수라는 것은, κ < λ를 만족하는 기수 κ가 존재하며, 그러한 임의의 기수 κ에 대해 2κ < λ라는 뜻이다. 임의의 기수 λ에 대해 λ+ ≤ 2λ가 성립하므로 모든 강극한기수는 약극한기수이다. 일반 연속체 가설은 위의 부등식에서 언제나 등호가 성립한다는 가정인데, 이것이 사실이라면 강극한기수와 약극한기수는 동일한 개념이 된다.

(강/약) 극한기수에 비가산 정칙 조건을 추가하면, (강/약) 도달 불가능한 기수의 개념을 얻는다.

기수의 연산[편집]

순서수와 마찬가지로, 기수에 대하여 덧셈과 곱셈 등을 정의할 수 있다. 이러한 연산은 자연수에 국한하면 자연수의 연산과 같다. 충분히 큰 기수의 경우 이들 연산은 대부분 자명해진다.

바로 뒤 기수[편집]

선택공리를 가정하면, 모든 기수 a에 대하여 그 바로 뒤 기수(영어: successor) a^+가 존재한다. 이는 a<b<a^+인 기수 b가 존재하지 않는 기수 a^+이다. 자연수의 경우 이는 단순히 n^+=n+1이며, 알레프 수의 경우

\aleph_{\alpha}^+=\aleph_{\alpha+1}

이다.

덧셈[편집]

기수의 덧셈은 다음과 같다. 서로소인 두 집합 A, B에 대하여 a=\operatorname{card}(A)이고 b=\operatorname{card}(B)라면 이 두 기수의 합은

a+b=\operatorname{card}(A \sqcup B)

이다.

기수 덧셈은 0을 항등원으로 가지고, 또 결합법칙교환법칙을 만족시킨다. 자연수에 국한하면, 이는 단순히 자연수의 덧셈이다. 선택공리를 가정한다면, 두 기수 가운데 적어도 하나가 무한기수라면 이 두 기수의 합은 단순히 둘 가운데 더 큰 기수이다.

a+b=\max\{a,b\} (a 또는 b 가운데 적어도 하나가 무한기수)

곱셈[편집]

만약 a=\operatorname{card}(A)이고 b=\operatorname{card}(B)라면, 이 두 기수의 곱은

ab=\operatorname{card}(A\times B)

이다. 이는 1을 항등원으로 가지고, 또한 결합법칙교환법칙을 만족시킨다. 또한, 덧셈과 곱셈은 분배법칙을 만족시킨다.

선택공리를 가정한다면, 만약 ab 가운데 적어도 하나가 무한기수이며 둘 다 0이 아니라면

ab=a+b=\max\{a,b\}

이다. (0과 무한기수의 곱은 0이다.)

거듭제곱[편집]

만약 a=\operatorname{card}(A)이고 b=\operatorname{card}(B)라면, 이 두 기수의 지수는

a^b=\operatorname{card}(A^B)

이다. 여기서 A^B는 함수 B\longrightarrow A들의 집합이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]