대수적 수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

대수적 수(代數的 數, Algebraic number)는 다음과 같은 유리수계수를 갖는 대수방정식의 해가 되는 복소수를 말한다.

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Q}

예를 들어, 2 + \sqrt 3x^2 - 4x + 1 = 0 의 해가 되므로 대수적 수가 된다. 또한, 허수단위 ix^2 + 1 = 0의 해가 되므로 대수적 수가 된다.

대수적 수가 아닌 복소수초월수라 한다. 대수적 수의 집합은 가산집합인 반면 복소수의 집합은 비가산집합이므로, 대수적 수보다 초월수가 더 많다.

대수학적 성질[편집]

대수적 수는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있고 덧셈의 역원이 존재하며 0이 아닌 경우 곱셈의 역원이 존재하므로 가 된다. 또한 대수적 수는 유리수 집합을 포함한 가장 작은 대수적으로 닫힌 체이다. 다시 말해, 대수적 수는 유리수의 대수적 닫힘이다.

대수적 수의 집합의 기호는 \scriptstyle\overline{\mathbb{Q}} 또는 \scriptstyle{\mathbb{A}}이나, 후자는 아델 환의 기호와 혼동할 수 있다.

복소평면에 표현한 대수적 수.