허수 단위

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 {$\mathbb{R}(\mathrm{i})$} 허수 순허수 $\mathbb{R}$ 실수 {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$} $\mathbb{I}$ 무리수 {$\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 i 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ π 파이 ≈ 3.14159 26535 ... e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

허수 단위 i는 제곱해서 -1이 되는 복소수를 말한다. 즉 x² = − 1이 되는 x가 있다고 가정하고 그 한 근인 $\sqrt{-1}$를 i라 표기한다. 전자공학 등의 분야에서는 전류의 기호로 i를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 j로 표기하는 경우도 있다.

성질

• i^{4n − 3} = i
• i^{4n − 2} = − 1
• i^{4n − 1} = − i
• i⁴ⁿ = 1 (이상, n은 정수)

오일러 형태

허수단위를 e 의 지수형태로 써서 수를 표현하는 방법이 있다. 방법은 다음과 같다.

$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta), \,$

단 이때 θ 는 실수이다.

예

θ = π/2 − 2πN (단,N은 정수) 를 대입하면

$e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i.\,$

이것에 i 제곱을 취하면

$e^{i i(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,$

i² = − 1 이므로

$e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,$

과 같은 식이 나온다.

실제 이 값은

$i^i = e^{-\pi/2} = 0.207879576....\,$

이다.