황금비

(a+b):a = a:b

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 {$\mathbb{R}(\mathrm{i})$} 허수 순허수 $\mathbb{R}$ 실수 {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$} $\mathbb{I}$ 무리수 {$\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $\pi$ 원주율 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

황금비(黃金比) 또는 황금분할(黃金分割)은 주어진 길이를 가장 이상적으로 둘로 나누는 비로, 근사값이 약 1.618인 무리수이다. 기하학적으로 황금분할은 이미 유클리드(원론 3, 141)가 정의한 이래 예술분야, 특히 건축, 미술 등에서 즐겨 응용되었다.

정의

황금비는 어떠한 선으로 이등분하여 한쪽의 평방을 다른쪽 전체의 면적과 같도록 하는 분할이다. 즉, 선 AB위에 점 C가 있을 때 (AC)^2＝BC×AB 또는 AC：CB＝AB：AC가 되도록 분할하는 것이다. 이 비의 값은 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$로, 거의 1.61803393...：1 또는 1：0.61803393...이 되는데 이것을 황금비라 한다. 황금비는 고대 그리스인에 의하여 발견되었고, 이후 유럽에서 가장 조화적이며 아름다운 비례(프로포션)로 간주되었다. 근대에 이르러 르 코르뷔지에는 황금비를 피보나치(Fibonacci) 수열의 원리에서 착안하여 인체비례와 결부시켜 '모듈(황금기준척)'을 고안했다. '섹숑 도르'라는 이름을 붙인 퀴비슴의 화가그룹도 있다.

황금비 $\color{Blue}\varphi$(phi)는 선분을 $a, b$ 길이로 둘로 나눌 때, 다음과 같은 값으로 정의된다.

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$

이 때,

$\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1.\qquad\qquad(*)$

가 성립하고, $\frac{a}{b} = \varphi.$를 대입하면

$\varphi^2=\varphi+1\,$

라는 이차방정식이 나오고, $\varphi$는 이 방정식의 두 근 중 양수 근이 된다.

수학적 성질

황금비는 기하학에서 자주 등장하는 상수이다. 특히 오각형에 연관성이 크다. 예를 들어, 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비는 황금비이다.

피보나치 수는 황금비를 포함한다.

$F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}} = {{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}$

또한, 피보나치 수열의 두 수의 비의 극한값은 구리비이다.

생활 속에서 볼 수 있는 황금비

고대 그리스로부터 건축물(이를테면 파르테논 신전)을 아름답게 짓기 위해 황금비가 많이 사용되고 있으며, 명함, 담배갑 , 신용카드 등에서도 볼 수 있다. HDTV 나 컴퓨터의 와이드 모니터 등에는 16:9, 15:9(5:3), 16:10(8:5) 등의 비율이 사용되고 있는데 이것은 황금비의 근사값이라 할 수 있다.

같이 보기

• 미학
• 황금각
• 피 문자
• 황금 함수
• 황금 사각형
• 황금 삼각형 (수학)
• 플라스틱 수
• 피보나치 수열

바깥 고리

위키미디어 공용에 관련 미디어 자료가 있습니다. 황금비

• "Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

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