황금비

(a+b):a = a:b

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 {$\mathbb{R}(\mathrm{i})$} 허수 순허수 $\mathbb{R}$ 실수 {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$} $\mathbb{I}$ 무리수 {$\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 i 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ π 파이 ≈ 3.14159 26535 ... e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

황금비(黃金比) 또는 황금분할(黃金分割)은 주어진 길이를 가장 이상적으로 둘로 나누는 비로, 근사값이 약 1.618인 무리수이다. 기하학적으로 황금분할은 이미 유클리드(원론 3, 141)가 정의한 이래 예술분야, 특히 건축, 미술 등에서 즐겨 응용되었다.

황금분할의 정의

황금비 $\color{Blue}\varphi$(phi)는 선분을 a,b 길이로 둘로 나눌 때, 다음과 같은 값으로 정의된다.

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$

이 때,

$\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1.\qquad\qquad(*)$

가 성립하고, $\frac{a}{b} = \varphi.$를 대입하면

$\varphi^2=\varphi+1\,$

라는 이차방정식이 나오고, φ는 이 방정식의 두 근 중 양수 근이 된다.

수학적 성질

황금비는 기하학에서 자주 등장하는 상수이다. 특히 오각형에 연관성이 크다. 예를 들어, 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비는 황금비이다.

피보나치 수는 황금비를 포함한다.

$F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}} = {{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}$

또한, 피보나치 수열의 두 수의 비의 극한값은 구리비이다.

생활 속에서 볼 수 있는 황금비

고대 그리스로부터 건축물(예;모나리자)을 아름답게 짓기 위해 황금비가 많이 사용되고 있으며, 명함, 담배갑 , 신용카드 등에서도 볼 수 있다. HDTV 나 컴퓨터의 와이드 모니터 등에는 16:9, 15:9(5:3), 16:10(8:5) 등의 비율이 사용되고 있는데 이것은 황금비의 근사값이라 할 수 있다.

같이 보기

• 미학
• 황금각
• 피 문자
• 황금 함수
• 황금 사각형
• 황금 삼각형 (수학)
• 플라스틱 수
• 피보나치 수열

외부 링크

위키미디어 공용에 관련 미디어 자료가 있습니다. 황금비

• "Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.