오각형

기하학에서 오각형은 변이 다섯 개인 도형이다. 정오각형의 한 각의 크기는 108˚이고 내각의 합은 540˚이다.

정오각형

넓이와 길이

한 변의 길이가 $a$인 정오각형의 넓이는

$A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \approx 1.72048 a^2$

이다.

한 변의 길이가 $a$인 정오각형의 대각선의 길이는

$D = \frac{1+\sqrt{5}}{2}a \approx 1.61803 a$

이다.

또한 한 변의 길이가 $a$인 정오각형의 높이는

$H = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a \approx 1.53884 a$

이다.

작도

정오각형 작도

정오각형은 작도가 가능한 도형이다.

1. (초록색) 점 O를 중심으로 하는 원을 그린다.
2. 원 O 위의 점 A를 골라 직선 OA를 그린다.
3. 직선 OA와 수직인 직선을 그린다. 이 직선이 원 O와 만나는 곳을 점 B라고 한다.
4. 점 O와 점 B의 가운데에 있는 점 C를 그린다.
5. (빨간색) 점 C를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 C가 직선 OB와 만나는 곳을 점 D라고 한다. (이 때 원 C가 직선 OB와 만나는 점은 두 개가 있다. 이 중 원 O 안에 있는 점)
6. (파란색) 점 A를 중심으로 하면서 점 D를 지나가는 원을 그린다. 원 A가 원 O와 만나는 두 점을 각각 점 E와 점 F라고 한다.
7. 점 E를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 E가 원 O와 만나는 곳을 점 G라고 한다.
8. 점 F를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 F가 원 O와 만나는 곳을 점 H라고 한다.
9. (검정색) 오각형 AEGHF를 그린다.