e (상수)

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 $\mathbb{R}(\mathrm{i})$ 허수 $\mathbb{R}$ 실수( $\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$ ) $\mathbb{I}$ 무리수 { $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3,-4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 Superreal 초실수 Surreal
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $π$ 파이 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$ ) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β^* - δ - α - C₂ - M₁ - B₂ - B₄ - Λ - K - K - K - B´_L - μ - E_B - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

상수 $e$ 는 자연로그의 밑이 되는 수이다. 이 수의 값은 대략

$e = 2.71828\ 18284\ 59045\ 23536\ 02874\ \cdots$

이다. 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따 오일러의 수, 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드 수학자 존 네이피어의 이름을 따 네이피어 상수라고도 불리지만, 보통은 알파벳의 영어발음을 따서 e라고 많이 말한다. 숫자 2와 알파벳 e의 발음이 똑같은 한국어 사용자들은 분간을 위해 자연상수(자연로그의 밑이 되므로) 라고 부르기도 한다. (오일러 상수와는 다른 수이다)

$e$ 는 원주율 π, 허수 단위 i 와 함께 가장 중요한 수학의 상수중 하나이다.

이 값은 지수함수 exp의 1에서의 함수값, 즉, exp(1)과 같고, 따라서, 다음과 같은 극한으로 표현된다.

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

또한, 다음과 같은 무한 급수로 나타낼 수도 있다.

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

위 식에서 $n!$ 은 $n$ 의 계승을 나타낸다.

이 수치 $e$ 는 지수함수 $\operatorname{exp}(x)$ 가 $e x$ 과 일치하기 때문에 매우 중요하다. 지수함수와 지수함수의 상수배는 자신의 도함수와 같은 유일한 함수이기 때문에 ( $y = 0$ 제외) 자연에서 발견되는 다양한 성장, 감소현상의 모델의 계산에 자주 쓰인다.

$e$ 는 무리수이며, 나아가 초월수이다. e는 초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 고안된 수들을 빼 놓고 초월수 개념이 나오기 전에 알려져 있던 수들 중에 최초로 초월수임이 증명된 수이기도 하다. 1873년 샤를 에르미트(Charles Hermite)가 이를 증명해 냈다. $e$ 는 정규(normal number)라고 추측되고 있다.

$e$ 는 다음의 오일러 공식에도 등장한다.

e i π + 1 = 0

$e$ 를 연분수(continued fraction)로 표시하면, 다음과 같은 재미있는 패턴을 관찰할 수 있다.

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \ldots].$

$e = 2 + \frac{1}{1+ \frac{1}{2+ \frac{2}{3+ \frac{3}{4+ \frac{4}{5+ \cdots}}}}}$

$\frac{e+1}{e-1} = 2 + \frac{1}{6 + \frac{1}{10 + \frac{1}{14+\cdots}}}$

이 상수를 다루는 최초의 참고서는 1618년 존 네이피어에 의해 로그에 대한 연구의 부록으로 간행되었다. 그러나 그것은 상수자체를 담고 있지는 않았고, 단순히 상수로부터 계산된 여러 로그값의 리스트였다. 그 테이블은 윌리엄 오트레드가 만든 것으로 여겨진다. 처음으로 $e$ 가 상수라는 것은 야콥 베르누이가 아래 표현의 값을 찾기 위해 노력하는 중 밝혀지게 되었다.

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

겔폰드(Gelfond) 상수라고 불리는 $e π$ 는 러시아의 수학자 알렉산드르 겔폰드(Aleksandr Gelfond)의 겔폰드 정리에 의하여 초월수임이 밝혀졌다. 이 수의 값은 대략 23.14069… 이다.

e (상수)

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

보기

개인 도구

찾기

둘러보기

도구모음

다른 언어