소수 정리

정수론에서, 소수 정리(Prime Number Theorem, PNT)는 소수의 분포를 근사적으로 기술하는 정리이다.

개념적으로, 소수 정리는 어떤 큰 수 $N$에 가까운 정수 하나를 무작위로 골랐을 때 그 정수가 소수일 확률은 $\frac 1 {\ln N}$ 에 근사한다는 것을 보여 준다. (이때 $\ln$은 자연로그이다.) 이것은 또한 소수의 분포는 더 큰 수로 갈수록 적어진다는 것을 의미한다.

정의

π(x) (적색) 과 x / ln x ,그리고 Li(x) (청색) 의 그래프 비교

임의의 실수 $x$ 에 대해 소수계량함수 $\pi(x)$ 는 $x$ 보다 작거나 같은 소수의 개수를 가리키는 함수라고 하자. 예를 들어, 10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7로 4개이므로 $\pi(10) = 4$ 가 된다.

작은 몇 개의 값에 대해 소수계량함수의 함수값을 써 보면 다음과 같다.

$\pi(1) = 0, \pi(2) = 1, \pi(3) = 2, \pi(4) = 2, \pi(5) = 3, \pi(6) = 3, \pi(7) = 4$

소수 정리는 두 함수 $\pi(x)$와 $\frac x {\ln x}$의 비가 x가 무한히 커질수록 1에 수렴한다는 것을 말한다. 즉,

$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x) \ln x}{x} = 1$

가 성립한다. 점근 표기법에 의해 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}$

이것은 두 함수의 차가 $x$가 무한히 커질수록 0에 수렴한다는 것을 뜻하지는 않는다.

그리고 자연로그 뿐만 아니라 상용로그에도 소수정리가 적용될 수 있다.

$\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}$

역사

소수 정리를 처음 제안한 것은 1798년 아드리앵 마리 르장드르이다. 1896년에는 자크 아다마르와 샤를르-장 드 라 발레-푸생이 각각 독립적으로 증명하였다. 이 증명은 리만 제타 함수를 이용한 복소 해석 기법을 사용하므로 해석적 증명(analytic proof)라고 부른다. 오랫동안 사람들은 복소 해석학을 쓰지 않고 증명할 방법이 없다고 생각했으나, 아틀레 셀베르그와 폴 에르되시는 1949년 복소 해석학을 쓰지 않은 증명을 발표하였고, 이를 초등적 증명(elementary proof)이라고 부른다.

체비셰프의 결과

체비셰프는 다음과 같은 사실을 알아냈다.

1. 만일 어떤 고정된 수 C에 대하여 :$\pi(x)\sim\frac{Cx}{\ln x}$ 이라면, C가 가질 수 있는 값은 1밖에 없다.

2. $\pi(x)$와 $x/log(x)$의 차이는 위아래로 4%를 벗어나지 않는다.

해석적 증명(analytic proof)의 개략

$\psi(x)$를 체비쇼프 함수(Chebyshev function)라 하자. 먼저 다음이 소수 정리와 동치임을 보인다.

$\psi(x) \sim x$

그 후, 체비세프 함수를 1부터 x까지 적분한 함수를 $\psi_1 (x)$라 할 때, 다음이 소수 정리와 동치임을 보인다.

$\psi_1 (x)\sim \frac{1}{2}x^2$

수론적 함수와 제타함수를 연결한다.

$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = - \sum_{n =1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s}$

여기서 $\Lambda$는 망골트 함수(Mangoldt function)를 의미한다. 위 점근식을 증명하기 위해 c가 1보다 클 때 성립하는 다음의 등식을 증명한다.

$\frac{\psi_1 (x)}{x^2} - \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{2\pi i} \int_{c - \infty i}^{c + \infty i} \frac{x^{s-1}}{s(s+1)}\left(- \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} - \frac{1}{s-1}\right)ds$

적분경로는 물론 y축과 평행하게 아래에서 위로 올라가는 직선이다. 이후 코시의 적분정리와 리만-르벡 보조정리(Riemann-Lebesgue Lemma)를 이용해 우측 적분값이 영에 수렴함을 증명한다.

이와 더불어, 여러가지 해석적 증명 방법을 소개한 자료가 아래 링크되어있다.

https://zariski.wordpress.com/2010/03/06/%EC%86%8C%EC%88%98%EC%A0%95%EB%A6%AC%EC%9D%98-%EC%A6%9D%EB%AA%85-part-2-2-%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81-%EC%A6%9D%EB%AA%85/

초등적 증명(elementary proof)의 개략

티카오 타츠자와, 카네시로 이세키(Tikao Tatuzawa, Kanesiroo Iseki)의 등식을 이용하거나 또는 셀베르그의 다음 등식

$\Lambda(n)\log n + \sum_{d|n}\Lambda(d)\Lambda\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d|n}\mu(d)\log^2 \frac{n}{d}$

을 이용하여 증명의 핵심적이라 할 수 있는 셀베르그가 증명한 다음 점근적 등식을 유도한다.

$\sum_{p\le x}\log^2 p + \sum_{pq\le x}\log p \log q = 2x\log x + O(x)$

$\sigma(x) = e^{-x}\psi(e^x) -1$로 치환할 때, 적분형태의 다음 부등식을 유도할 수 있다.

$|\sigma(x)|x^2 \le 2 \int_{0}^{x}\int_{0}^{y} |\sigma(u)|dudy + O(x)$

소수 정리는 $\sigma(x) = o(1)$과 동치이다. 만약 다음과 같이 이 함수의 상극한을

$C = \limsup_{x\to\infty} |\sigma(x)|$

라고 둔다면, 이 상수가 영으로 가는 것을 확인하여 소수 정리를 증명할 수 있다. 만약 이 상수가 양수라고 가정하여 모순임을 증명한다. 정의에 의해 상수부분을 떼넨 나머지 영으로 가는 함수를 다음과 같이 정의한다.

$|\sigma(x)| \le C + g(x)$

위 적분형태의 부등식과 이 부등식을 이용하여 다음과 같은 유사한 형태의 부등식을 유도한다.

$|\sigma(x)| \le C' + h(x)$

다만 이 경우 $0 < C' < C$가 된다. 여기서 $C < C'$임을 유도하여 모순을 이끌어 낸다.