소수 정리

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정수론에서, 소수 정리(Prime Number Theorem, PNT)는 소수의 분포를 근사적으로 기술하는 정리이다.

개념적으로, 소수 정리는 어떤 큰 수 N에 가까운 정수 하나를 무작위로 골랐을 때 그 정수가 소수일 확률은 \frac 1 {\ln N} 에 근사한다는 것을 보여 준다. (이때 \ln자연로그이다.) 이것은 또한 소수의 분포는 더 큰 수로 갈수록 적어진다는 것을 의미한다.

정의[편집]

π(x) (적색) 과 x / ln x ,그리고 Li(x) (청색) 의 그래프 비교

임의의 실수 x 에 대해 소수계량함수 \pi(x)x 보다 작거나 같은 소수의 개수를 가리키는 함수라고 하자. 예를 들어, 10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7로 4개이므로 \pi(10) = 4 가 된다.

작은 몇 개의 값에 대해 소수계량함수의 함수값을 써 보면 다음과 같다.

\pi(1) = 0, \pi(2) = 1, \pi(3) = 2, \pi(4) = 2, \pi(5) = 3, \pi(6) = 3, \pi(7) = 4

소수 정리는 두 함수 \pi(x)\frac x {\ln x}의 비가 x가 무한히 커질수록 1에 수렴한다는 것을 말한다. 즉,

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x) \ln x}{x} = 1

가 성립한다. 점근 표기법에 의해 다음과 같이 표현할 수도 있다.

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}

이것은 두 함수의 차가 x가 무한히 커질수록 0에 수렴한다는 것을 뜻하지는 않는다.

역사[편집]

소수 정리를 처음 제안한 것은 1798년 아드리앵 마리 르장드르이다.[1] 1896년에는 자크 아다마르샤를르-장 드 라 발레-푸생이 각각 독립적으로 증명하였다. 이 증명은 리만 제타 함수를 이용한 복소 해석 기법을 사용하므로 해석적 증명(analytic proof)라고 부른다. 오랫동안 사람들은 복소 해석학을 쓰지 않고 증명할 방법이 없다고 생각했으나, 아틀레 셀베르그에르되시 팔1949년 복소 해석학을 쓰지 않은 증명을 발표하였고, 이를 초등적 증명(elementary proof)이라고 부른다.

체비쇼프의 결과[편집]

파프누티 체비쇼프는 다음과 같은 사실을 알아냈다.

1. 만일 어떤 고정된 수 C에 대하여 :\pi(x)\sim\frac{Cx}{\ln x} 이라면, C가 가질 수 있는 값은 1밖에 없다.

2. \pi(x)x/log(x)의 차이는 위아래로 4%를 벗어나지 않는다.

해석적 증명(analytic proof)의 개략[편집]

\psi(x)체비쇼프 함수(Chebyshev function)라 하자. 먼저 다음이 소수 정리와 동치임을 보인다.

\psi(x) \sim x

그 후, 체비쇼프 함수를 1부터 x까지 적분한 함수를 \psi_1 (x)라 할 때, 다음이 소수 정리와 동치임을 보인다.

\psi_1 (x)\sim \frac{1}{2}x^2

수론적 함수와 제타함수를 연결한다.

\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = - \sum_{n =1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s}

여기서 \Lambda망골트 함수(Mangoldt function)를 의미한다. 위 점근식을 증명하기 위해 c가 1보다 클 때 성립하는 다음의 등식을 증명한다.

\frac{\psi_1 (x)}{x^2} - \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{2\pi i} \int_{c - \infty i}^{c + \infty i} \frac{x^{s-1}}{s(s+1)}\left(- \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} - \frac{1}{s-1}\right)ds

적분경로는 물론 y축과 평행하게 아래에서 위로 올라가는 직선이다. 이후 코시의 적분정리와 리만-르벡 보조정리(Riemann-Lebesgue Lemma)를 이용해 우측 적분값이 영에 수렴함을 증명한다.[2]

이와 더불어, 여러가지 해석적 증명 방법을 소개한 자료가 아래 링크되어있다.

https://zariski.wordpress.com/2010/03/06/%EC%86%8C%EC%88%98%EC%A0%95%EB%A6%AC%EC%9D%98-%EC%A6%9D%EB%AA%85-part-2-2-%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81-%EC%A6%9D%EB%AA%85/

초등적 증명(elementary proof)의 개략[편집]

티카오 타츠자와, 카네시로 이세키(Tikao Tatuzawa, Kanesiroo Iseki)의 등식[3]을 이용하거나 또는 셀베르그의 다음 등식

\Lambda(n)\log n + \sum_{d|n}\Lambda(d)\Lambda\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d|n}\mu(d)\log^2 \frac{n}{d}

을 이용하여 증명의 핵심적이라 할 수 있는 셀베르그가 증명한 다음 점근적 등식을 유도한다.

\sum_{p\le x}\log^2 p + \sum_{pq\le x}\log p \log q = 2x\log x + O(x)

\sigma(x) = e^{-x}\psi(e^x) -1로 치환할 때, 적분형태의 다음 부등식을 유도할 수 있다.

|\sigma(x)|x^2 \le 2 \int_{0}^{x}\int_{0}^{y} |\sigma(u)|dudy + O(x)

소수 정리는 \sigma(x) = o(1)과 동치이다. 만약 다음과 같이 이 함수의 상극한

C = \limsup_{x\to\infty} |\sigma(x)|

라고 둔다면, 이 상수가 영으로 가는 것을 확인하여 소수 정리를 증명할 수 있다. 만약 이 상수가 양수라고 가정하여 모순임을 증명한다. 정의에 의해 상수부분을 떼넨 나머지 영으로 가는 함수를 다음과 같이 정의한다.

|\sigma(x)| \le C + g(x)

위 적분형태의 부등식과 이 부등식을 이용하여 다음과 같은 유사한 형태의 부등식을 유도한다.

|\sigma(x)| \le C' + h(x)

다만 이 경우 0 < C' < C가 된다. 여기서 C < C'임을 유도하여 모순을 이끌어 낸다.[2]

주석[편집]

  1. 카를 프리드리히 가우스1792년1793년 사이에 소수 정리를 연구한 적이 있지만 발표를 하지는 않았다.
  2. Apostol, Tom (1998). 《Introduction to Analytic Number Theory》. Springer. ISBN 978-0387901633
  3. Tatuzawa, Tikao, and Iseki Kaneshiro (1951년). On Selberg's elementary proof of the prime number theorem. 《Proc. Japan Acad.》 27: 340-342.