리만 가설

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임계선(실수부가 1/2인 복소평선 상의 선) 상에 위치한 리만 제타 함수 근의 실수부(적색)과 허수부(청색)를 보여주는 그래프. 리만 제타 함수의 자명하지 않은 근의 허수부 Im(s)는 ±14.135i, ±21.022i, ±25.011i로 시작한다.
밀레니엄 문제

수학에서 리만 가설(영어: Riemann hypothesis) 또는 리만 제타 추측1859년 베른하르트 리만이 처음 제안한 것으로 수학사의 미해결 난제 중 하나로 유명하다. 이 가설은 리만 제타 함수의 값이 0이 되는 모든 자명하지 않은 복소수 의 실수부는 1/2라는 추측이다. 리만 가설은 음의 짝수 자명한 근을 제외한 복소수의 근만을 다룬다.

리만 가설은 소수의 규칙성과 연관되어 있는 것이 특징이다. 이 문제는 순수수학에서 해결되지 않은 중요한 몇 가지 수학 문제 중 하나이다. 리만 가설은 힐베르트힐베르트의 문제들골드바흐의 추측과 함께 힐베르트의 8번째 문제와, 클레이 수학연구소밀레니엄 문제 중 하나에 속한다. 이것은 공식화된 이후에도 미해결된 상태로 남아 있다.

리만 제타 함수 ζ(s)의 ‘자명한’ 근으로는 음의 짝수가 있다.(s = −2, −4, −6, ...). 리만 가설은 리만 제타 함수의 자명하지 않은 근의 실수부가 항상 1/2라는 것이다.

리만 제타 함수[편집]

리만 제타 함수는 1 보다 큰 수 s에 대해 다음과 같은 수렴되는 식이 이루어진다.


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
\!

레온하르트 오일러오일러의 곱셈 공식에 따르면,

\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots

무한 곱은 소수 P로 정리되며, 1보다 더 큰 실수부에 대해서는 's'가 수렴된다. 오일러 함수가 수렴되는 부분 ζ(s)에서 (즉, 양수에서) 근은 없다.

리만 가설은 이 영역 밖에서 s해석적 연속으로 근을 설명한다. 이것은 디리클레 에타 함수에서 다음과 같은 측면으로 설명할 수 있다. s가 1보다 크면, 제타 함수는 다음을 만족한다


\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} =
\frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots
\, .

그러나, s가 1보다 클 때에는 그냥 수렴하지만, 더욱 일반적으로는 모든 부분에서 s는 실수부의 근이 있다. 따라서, 이의 대안으로서 제타 함수를 Re(s) > 1에서 Re(s) > 0로 1을 제외하고 확장하면 s = 1 + 2\pi in/\ln(2) of 1-2/2^s가 된다. (디리클레 에타 함수 참조).

이에 벗어나서 0 < Re(s) < 1에서 리만 제타 함수는 다음 함수방정식을 만족한다.


\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!.

이 경우 하나의 ζ(s)는 나머지 모든 0이 아닌 복소수에 대해 정의할 수 있으며 이 방정식은 그 외의 근도 포함하고 있으며 ζ(s)는 s에 양의 실수부가 존재할 경우 등호가 성립한다. 만약 s가 sin(πs/2)가 사라지는 요인이 되는 ζ(s) = 0의 값은 음의 짝수이다. 이것은 제타 함수의 자명한 근으로 불린다. (만약 s가 양의 짝수일 경우 감마함수가 음의 정수를 값으로 취하기 때문에 극이 되어 제로값이 사라진다.) ζ(0) = −1/2(즉, 1+1+1+...)의 값은 식에서 결정될 수 없지만, ζ(s)를 다르게 접근하여 s의 다른 값을 알 수 있다. 또한, 이 제타 함수는 자명한 근 외에 다른 부정적인 실수부에는 0이 될 수 없으며, 이렇게 모든 자명하지 않은 근은 복소수이며 s의 실수부는 0과 1사이에 존재한다.

역사[편집]

실제로 이 극한 사이에 이 정도의 수의 실수 영점들이 존재하며, 아마 모든 영점들이 실수일 것으로 추측된다. 물론 이에 대한 엄밀한 증명이 있으면 좋겠지만, 나는 이를 증명하기 위해 약간의 시간을 허비한 뒤, 나의 연구의 다음 목표에 대해서는 불필요하므로 임시로 덮어 두기로 결정하였다.
Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.
 

리만은 1859년 그의 논문 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여[1]에서 리만 가설로 알려지게 된 추측을 언급했으나 그 논문의 중심적 목적은 소수의 개수에 관한 것이었기 때문에 가설의 증명을 시도하지는 않았다.[2] 리만은 자신의 가설이 참일 경우 소수의 개수는 로그 적분 함수에 점근(漸近)한다는 것을 보였다. 1866년 리만이 사망하자 리만의 가정부가 집을 정리하면서 그의 연구자료를 불태워버려 그의 연구를 자세히 알 길이 없어졌다.

소수 정리[편집]

리만은 리만 가설이 으로 증명될 경우 소수의 개수가 로그 적분 함수에 점근한다고 주장하였다. 이를 소수 정리라 한다. 이후 많은 수학자들이 이를 연구하였으며 1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 발레 푸생이 몇 개월을 사이에 두고 독자적으로 소수 정리를 증명하였다. 이들은 리만 가설을 다음과 같이 변형하여 조건을 느슨하게 함으로써 소수 정리를 증명할 수 있었다.

  • 느슨한 조건: 제타함수의 자명하지 않은 모든 근들의 실수부는 0보다 크고 1보다 작다.

복소평면에서 리만 가설이 주장하는 실수부가 1/2인 모든 수를 생각하면 이는 실수축의 1/2를 지나는 직선이 된다. 이를 임계선이라 한다. 한편, 소수 정리를 증명하면서 도입한 실수축의 (0,1)을 지나는 모든 수는 띠(帶)를 이루게 되는데 이를 임계대라 한다. 이하의 설명에서 임계선과 임계대는 이와 같은 의미로 부연설명 없이 사용된다.

힐베르트의 문제들[편집]

리만의 논문 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉의 주제인 소수 정리가 증명되자 수학자들의 관심은 리만 가설 자체에 집중되었다. 다비트 힐베르트는 1900년 8월 8일 소르본 대학에서 열린 제2회 국제수학자대회에서 〈수학 문제들〉이라는 주제의 강연을 통해 20세기에 들어 해결해야할 중요한 수학문제 23개를 제시하였다. 리만 가설은 이 문제들 가운데 8번째로 제기되었다.

8. 소수 문제

최근 들어 소수의 분포 문제는 아다마르푸생, 망골트 등의 연구에 힘입어 괄목할 만한 진전을 보았다. 그러나 이 문제가 완전하게 해결되려면 리만의 논문에 제시된 중요한 가설, 즉 제타함수의 자명하지 않은 근들의 실수부가 모두 ½이라는 가설이 증명되어야 한다. ……
 
다비트 힐베르트, 존 더비셔의 책에서 재인용

주요 업적[편집]

  • 요르겐 그람이 1903년 제타함수의 근을 계산하는 방법을 개발하여 실수축에서 가까운 15개의 근을 계산하였다. 그람의 계산에서 제타함수의 자명하지 않은 근의 실수부는 모두 ½이었다.[3]
  • 고드프리 해럴드 하디는 1914년 이 가설을 만족시키는 근 s가 무한히 많다는 것을 증명하였다.[4]
  • 2000년대 초 영점에서 100억자리까지 제타함수의 근이 계산되었으며 이는 모두 리만 가설을 만족하였다.[5]

최근 동향[편집]

  • 2001년 미국 클레이 연구소가 21세기의 수학 문제 7문제 중의 하나로 리만 가설에 100만 달러의 상금을 걸다.
  • 2004년 프랑스에서 루이스 데 브랑게스가 인터넷에 리만 가설의 증명을 올렸다. 하지만 한달 뒤, 브랑게스의 증명을 검토하던 클레이 수학 연구소에서 브랑게스 교수의 논문은 반례가 있다는 것이 밝혀졌다.

가설[편집]

리만 가설은 다음과 같다.

리만 제타 함수의 자명하지 않은 모든 들은 실수부1/2이다.

베른하르트 리만, 존 더비셔의 《리만 가설》에서 재인용

배경[편집]

베른하르트 리만은 1859년 베를린학술원에 가입하면서 관례에 따라 논문 한 편을 제출하였다. 논문의 제목은 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여로 임의의 양의 정수 N이 아주 클경우 N까지의 소수의 갯수는 로그 적분 함수 Li(N) 즉, \int_{0}^{N} \frac{1}{\log x}dx에 점근한다는 가설을 고찰하기 위한 것이었다. 그는 이 논문에서 오일러의 곱셈 공식에서 출발하여 모든 소수 p와 모든 양의 정수 n에 대하여 오일러의 곱셈 공식이 복소 변수 s에 대해 수렴한다면 \zeta(s)로 표기한다고 제타 함수를 정의하였다.[6]

오일러의 곱셈 공식[편집]

레온하르트 오일러바젤 문제를 해결하면서 제타 함수를 처음으로 사용하였다. 바젤 문제란 스위스 바젤시의 바젤 대학에 재직하던 야콥 베르누이요한 베르누이에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.


\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} =
1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots.

오일러는 이 급수가  \frac{\pi^2}{6}로 수렴함을 증명하였다.[7] 또한 오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 다음과 같은 제타 함수로 일반화하였으며 모든 0 이상의 짝수에 대하여 급수의 수렴값, 즉 닫힌 형식을 구할 수 있는 방법을 제시하였다.


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
\!

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.


\zeta(s) =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}=
\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots

따라서 제타함수는 다음과 같이 표기 될 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}

가설의 함의[편집]

헬게 폰 코흐는 리만 가설이 소수 정리의 "가장 가능성있는" 해법이라 생각하였다.[8]

알버트 잉햄(1900년 - 1967년)은 1932년 리만 가설에 의한 리만 제타 함수의 해와 주어진 수까지의 소수의 실제 개수 β간의 오차상한하한으로 표현하는 함수로서 O(xβ)를 정의하였다.[9]

로월 숀펠드(1920년 - 2002년)는 1976년 2657이상의 x에 대하여 주어진 수까지의 실제 소수의 갯수를 나타내는 함수 \pi (x)와 로그 적분 함수 \operatorname{Li}(x)의 오차에 다음과 같이 정리하였다.[10]

|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \log(x), \qquad \text{for all } x \ge 2657.

함수의 확장[편집]

리만 가설은 단순한 소수 계량 함수의 의미를 넘어 다양한 함수 계산으로 확장되고 있다.

일례로 뫼비우스 함수를 보면 다음과 같은 식이 성립한다.

\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}

이 때 우항의 합이 모든 s에 대하여 실수부가 ½보다 이 함수는 리만 가설과 동등하게 된다. 메르텐스 함수를 다음과 같이 정의할 때 같은 결론에 도달할 수 있다.

M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)

위의 식에 따라서,

M(x) = \mathcal{O}(x^{1/2+\varepsilon}) \,

이 때 모든 명확한 ε는 리만 가설에 상응한다. (대문자 O 표기법에 대하여는 점근 표기법을 참조할 것.) 순서 n에 대한 레드헤퍼 행렬행렬식M(n)과 같다. 따라서, 리만가설은 이 행렬식의 발전 조건으로 이해되고 있다. 1985년 오들리츠코(Odlyzko)와 테 릴(te Riele)는 리만 가설과 레드헤퍼 행렬의 관계를 이용하여 메르텐스 추측을 반증하였다.[11]

|M(x)| \le x^\frac{1}{2}.

1984년 로빈은 약수 함수에 대하여 로빈 부등식을 발표하였다.[12] 약수 함수는 다음과 같이 정의 되며,

\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d \,

따라서 다음의 부등식으로 표현된다.

\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n \,

이 때 5041 이상의 모든 n이 로빈 부등식을 만족시키면 리만 가설은 참이 된다.

1924년 프라넬과 란다우는 리만 가설이 파레이 수열과 밀접한 관계에 있음을 보였다.[13] 엄밀히 말하면 Fn이 순서 n에 대해 1/n 에서 시작하여 1/1 이상이 되는 파레이 수열일 때 모든 ε는 ε > 0이 된다고 하면,

\sum_{i=1}^m|F_n(i) - i/m| = \mathcal{O}(n^{1/2+\epsilon})

이는 리만 가설에 상응한다. 여기서 n에 대한 파레이 수열 안의 m번째 항은 m = \sum_{i=1}^n\phi(i)이 된다.

이론에서는 1988년 마시아스, 니콜라스, 로빈이 g(n)이 n차원의 대칭군 Sn의 원소 중 최대 순서에 의한 란다우 함수일 때, 리만 가설은 충분히 큰 모든 n에 대해 다음의 식과 상응함을 보였다. [14]

\log g(n) < \sqrt{\operatorname{Li}^{-1}(n)}

린델뢰프 가설과 제타 함수의 확장[편집]

제타 함수로부터 다양한 약한 결론들을 도출할 수 있다. 예를 들어 임계선 상의 제타 함수의 확장과 관련하여 린델뢰프 가설을 도입하면, 0보다 큰 임의의 ε에 대하여 t가 무한으로 발산할 때 다음과 같이 추정할 수 있다.

\zeta\left(\frac12 + it\right) = \mathcal{O}(t^\varepsilon),

제타 함수를 확장하여 임계대를 다음과 같이 기술할 수도 있다.

 e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le 2e^\gamma
 \frac{6}{\pi^2}e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{1/|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le \frac{12}{\pi^2}e^\gamma

이는 ζ(1+it)의 확장과 그것의 역은 s가 2의 배수인 자명한 경우처럼 서술될 수 있음을 알게 한다.[15]

소수의 개수에 대한 추측[편집]

소수 정리에 의해 주어진 수 p까지의 소수의 개수는 logp로 점근한다. 이때 실제 소수의 갯수는 언제나 logp보다 크다. 이는 스웨덴의 수학자 하라트 크라메르가 증명하였다. 크라메르는 여기에서 한 발 더 내딛어 p까지의 실제 소수의 갯수와 logp의 차가 O(√p log p)와 같이 점근한다고 추측하였다. 이를 크라메르 추측이라 한다. 현재 까지의 계산 결과는 이 가설을 지지하고 있다. [16]

주석[편집]

  1. 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여, 베른하르트 리만, 영문판
  2. 존 더비셔, 리만가설, 승산, 190쪽, 리만은 논문에서 제타 함수에 관한 가설이 카를 프리드리히 가우스, 페터 구스타프 르죈 디리클레 등과 오랫동안 논의한 것으로 그런대로 믿을 만한 것이라 표현하였다.
  3. 존 더비셔, 앞의 책, 271쪽
  4. E.T.벨, 안재구 역, 수학을 만든 사람들, 미래사, 2006, 하권 246쪽
  5. 카트린 파지크, 무지의 사전, 살림, 2008, 281쪽
  6. 존 더비셔, 박병철 역, 리만 가설, 190쪽
  7. 오일러의 바젤문제 증명, Ed Sandifer, Western Connecticut State University
  8. von Koch, Helge (1901), "Sur la distribution des nombres premiers", Acta Mathematica 24: 159–182, doi:10.1007/BF02403071
  9. Ingham, A.E. (1990), The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, MR1074573, ISBN 978-0-521-39789-6
  10. Schoenfeld, Lowell (1976), "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II", Mathematics of Computation 30 (134): 337–360, doi:10.2307/2005976, MR0457374, ISSN 0025-5718
  11. 메르텐스 추측에 대한 반증 Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), Journal für die reine und angewandte Mathematik 357: 138–160, MR783538, ISSN 0075-4102
  12. Robin, G. (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série 63 (2): 187–213, MR774171, ISSN 0021-7824
  13. Franel, J.; Landau, E. (1924), "Les suites de Farey et le problème des nombres premiers", Göttinger Nachr.: 198–206
  14. Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988), "Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique", Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 50 (3): 221–242, MR960551, ISSN 0065-1036
  15. 리만 방정식의 근, Titchmarsh, Edward Charles (1936), Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 157 (891): 261–263, doi:10.1098/rspa.1936.0192, ISSN 0080-4630
  16. Nicely, Thomas R. (1999), "New maximal prime gaps and first occurrences", Mathematics of Computation 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, MR1627813

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]