리만 가설

밀레니엄 문제
	P-NP 문제; 호지 추측; 푸앵카레 추측; 리만 가설; 양-밀스 질량 간극 가설; 나비에-스토크스 방정식; 버츠와 스위너톤-다이어 추측;

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

이동: 둘러보기, 찾기

리만 가설(Riemann hypothesis) 또는 리만 제타 추측은 1859년 베른하르트 리만이 처음으로 형식화한 것으로 수학사에서 모든 미해결 문제 중에서 가장 유명한 문제의 하나이다. 이 문제는 수많은 걸출한 수학자들의 집중적인 노력에도 불구하고 아직 1세기 이상 미해결인 상태로 남아 있다. 또 이 문제는 다른 유명한 미해결 수학 문제들과는 달리 비전문가들보다는 전문적인 수학자들에 더 매력적이다.

리만 가설은 리만 제타 함수 $ζ(s)$ 의 자명하지 않은 근 s의 실수부가 모두 1/2이라는 가설이다. 리만 제타 함수의 근 s는 모든 짝수인 음의 정수(-2, -4, -6 ……)를 포함하지만, 이 가설은 이런 자명한 경우를 제외한 경우만을 다룬다.

[편집] 역사

리만은 1859년 그의 논문 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여에서 리만 가설로 알려지게 된 추측을 언급했으나 그 논문의 중심적 목적은 소수의 갯수에 관한 것이었기 때문에 가설의 증명을 시도하지는 않았다.^[1] 리만은 자신의 가설이 참일 경우 소수의 갯수는 로그 적분 함수에 근접한다는 것을 보였다. 1866년 리만이 사망하자 리만의 가정부가 집을 정리하면서 그의 연구자료를 불태워버려 그의 연구를 자세히 알 길이 없어졌다.

[편집] 소수 정리

소수 정리 문서를 참고하십시오.

리만은 리만 가설이 참으로 증명될 경우 소수의 갯수가 로그 적분 함수에 근접한다고 주장하였다. 이를 소수 정리라 한다. 이후 많은 수학자들이 이를 연구하였으며 1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 발레 푸생이 몇 개월을 사이에 두고 독자적으로 소수 정리를 증명하였다. 이들은 리만 가설을 다음과 같이 변형하여 조건을 느슨하게 함으로써 소수 정리를 증명할 수 있었다.

느슨한 조건: 제타함수의 자명하지 않은 모든 근들의 실수부는 0보다 크고 1보다 작다.

[편집] 힐베르트의 문제들

힐베르트의 문제들 문서를 참고하십시오.

리만의 논문 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여의 주제인 소수 정리가 증명되자 수학자들의 관심은 리만 가설 자체에 집중되었다. 다비트 힐베르트는 1900년 8월 8일 소르본 대학에서 열린 제2회 국제수학자대회에서 〈수학 문제들〉이라는 주제의 강연을 통해 20세기에 들어 해결해야할 중요한 수학문제 23개를 제시하였다. 리만 가설은 이 문제들 가운데 8번째로 제기되었다.

“	8. 소수 문제 최근 들어 소수의 분포 문제는 아다마르와 푸생, 망골트 등의 연구에 힘입어 괄목할 만한 진전을 보았다. 그러나 이 문제가 완전하게 해결되려면 리만의 논문에 제시된 중요한 가설, 즉 제타함수의 자명하지 않은 근들의 실수부가 모두 ½이라는 가설이 증명되어야 한다. ……	”
	— 다비트 힐베르트, 존더비셔의 책에서 재인용,

[편집] 최근 동향

2001년 미국 클레이 연구소가 21세기의 수학 문제 7문제 중의 하나로 리만 가설에 100만 달러의 상금을 걸다.
2004년 프랑스에서 루이스 데 브랑게스가 인터넷에 리만 가설의 증명을 올렸다. 하지만 한달 뒤, 브랑게스의 증명을 검토하던 클레이 수학 연구소에서 브랑게스 교수의 논문은 반례가 있다는 것이 밝혀졌다.

[편집] 가설

리만 가설은 다음과 같다.

“	리만 제타 함수의 자명하지 않은 모든 근들은 실수부가 $\frac{1}{2}$ 이다.	”
	— 베른하르트 리만, 존 더비셔의 《리만 가설》에서 재인용,

[편집] 배경

베른하르트 리만은 1859년 베를린학술원에 가입하면서 관례에 따라 논문 한 편을 제출하였다. 논문의 제목은 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여로 임의의 양의 정수 N이 아주 클경우 N까지의 소수의 갯수는 로그 적분 함수 Li(N) 즉, $\int_{0}^{N} \frac{1}{\log x}dx$ 에 근접한다는 가설을 고찰하기 위한 것이었다. 그는 이 논문에서 오일러의 곱셈 공식에서 출발하여 모든 소수 p와 모든 양의 정수 n에 대하여 오일러의 곱셈 공식이 복소 변수 s에 대해 수렴한다면 $ζ(s)$ 로 표기한다고 제타 함수를 정의하였다.^[2]

[편집] 오일러의 곱셈 공식

오일러의 곱셈 공식 문서를 참고하십시오.

레온하르트 오일러는 바젤 문제를 해결하면서 제타 함수를 처음으로 사용하였다. 바젤 문제란 스위스 바젤시의 바젤 대학에 재직하던 야콥 베르누이와 요한 베르누이에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots.$

오일러는 이 급수가 $\frac{\pi^2}{6}$ 로 수렴함을 증명하였다.^[3] 또한 오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 다음과 같은 제타 함수로 일반화하였으며 모든 0 이상의 짝수에 대하여 급수의 수렴값, 즉 닫힌 형식을 구할 수 있는 방법을 제시하였다.

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots. \!$

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.

$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^-s}\cdot\frac{1}{1-3^-s}\cdot\frac{1}{1-5^-s}\cdot\frac{1}{1-7^-s} \cdots \frac{1}{1-p^-s} \cdots$

따라서 제타함수는 다음과 같이 표기 될 수 있으며 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^-s}$

[편집] 참고문헌

존 더비셔, 박병철 역, 《리만 가설》, 승산, ISBN 978-89-88907-88-7

[편집] 주석

↑ 존 더비셔, 리만가설, 승산, 190쪽, 리만은 논문에서 제타 함수에 관한 가설이 가우스, 디리클레등과 오랫동안 논의한 것으로 그런대로 믿을 만한 것이라 표현하였다.
↑ 존 더비셔, 박병철 역, 리만 가설, 190쪽
↑ 오일러의 바젤문제 증명, Ed Sandifer, Western Connecticut State University

[0] 존 더비셔, 리만가설, 승산, 190쪽, 리만은 논문에서 제타 함수에 관한 가설이 가우스, 디리클레등과 오랫동안 논의한 것으로 그런대로 믿을 만한 것이라 표현하였다.

[1] 존 더비셔, 박병철 역, 리만 가설, 190쪽

[2] 오일러의 바젤문제 증명, Ed Sandifer, Western Connecticut State University

[1]

[2]

[3]