리만 제타 함수

리만 제타 함수(Riemann zeta function) $\zeta(s)$는 수론에서 매우 중요한 제타 함수의 일종으로, 소수의 분포와 관련이 있다.

정의

실수 s>1에 대한 리만 제타 함수의 그래프

리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 $s (\in \mathbb C)$]]에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다.

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}$

이 무한급수는 $\Re(s) > 1$의 영역에서 수렴하고, 위 식은 해석함수(holomorphic function)를 정의한다. 리만은 제타 함수가 s ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수(Meromorphic function)로 유일하게 해석적 접속(analytic continuation)이 가능하다는 것을 알았으며 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다.

해석적 확장과 함수방정식

야코비 세타 함수

$\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}$

를 쓰자.

$\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}$

이므로,

$\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}$

를 얻을 수 있다. 오른쪽의 적분은 모든 복소수 $s$에 대하여 수렴하지 않으나, 다음 식의 적분은 모든 $s$에 대하여 수렴한다.

$\xi(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}$

한편 여기서 세타 함수의 성질

$\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})$

를 사용하면,

$\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}$

를 보일 수 있다. 이로부터 제타 함수의 해석적 확장과 함수방정식

$\xi(s) = \xi(1-s)$

를 얻는다.

특수한 값들

다음은 작은 수에 대한 제타 함수의 값이다.

$\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty$ ; 이것은 조화급수이다.

$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ ; 이것은 원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다.

$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots = 1.202\cdots$ ; 이것은 아페리 상수이다.

$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

$\zeta(5) = 1 + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{3^5} + \cdots = 1.036\cdots$

$\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945}$

$\zeta(7) = 1 + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{3^7} + \cdots = 1.0083\cdots$

$\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \cdots = \frac{\pi^8}{9450}$

$\zeta(9) = 1 + \frac{1}{2^9} + \frac{1}{3^9} + \cdots = 1.0020\cdots$

$\zeta(10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}} + \cdots = \frac{\pi^{10}}{93555}$

현재 리만제타함수가 실수부가 짝수($2N$)인 실수에서는 $\pi^{2N}$의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌다. 홀수일 때에는 3의 제타함수값은 무리수이며, 5, 7, 9, 11의 제타함수 값 중 적어도 하나가 무리수라는 것만이 알려져 있다.

소수와의 연관성

이 부분의 본문은 오일러의 곱셈 공식입니다.

오일러는 이 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 걸 알아냈다.

$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$

즉 리만 제타 함수는 모든 소수 $p$에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타내어진다. 위 식은 오일러의 곱셈 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 산술의 기본 정리로부터 유도 해낼수 있다. 그 간단한 증명은 다음과 같다.

$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$ 이므로

$\zeta(s)\left(1-\frac 1{2^s}\right) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots$과 같이

분모에서 2의 배수가 모두 사라지는 것을 관찰 할 수 있다. 또한

$\zeta(s)\left(1-\frac 1{2^s}\right)\left(1-\frac 1{3^s}\right) = 1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \cdots$위와

동일한 절차로 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다.

$\zeta(s) \left(1-\frac 1{2^s}\right) \left(1-\frac 1{3^s}\right) \left(1-\frac 1{5^s}\right) \cdots$

위와 같은 절차를 거쳐서 모든 소수의 배수를 없애주면 특정 합성수는 항상 소수의 곱으로써 나타내어 진다는 산술의 기본 정리에 따라서 분모가 합성수 또는 소수인 수가 모두 사라지고 마지막에는 1만이 남는다. 즉

$\zeta(s) \prod_{p} \left( 1 - p^{-s} \right) = 1$

$\therefore\;\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-s}}$

일반화

리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그 중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.

$\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s}$

이 함수는 $q = 1$일 때 리만 제타 함수가 된다.