유클리드의 정리

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수론에서 유클리드의 정리(Euclid의定理, 영어: Euclid’s theorem)는 무한한 수의 소수들이 존재한다는 정리이다.

정의[편집]

소수는 정확히 두 개의 양의 정수 약수를 갖는 양의 정수이다. 유클리드의 정리에 따르면, 소수의 집합 의 크기는 무한하다.

증명[편집]

수천 년 동안에 유클리드의 정리의 수많은 증명들이 발표되었다.

에우클레이데스의 증명[편집]

이 증명은 기원전 3세기에 작성된 에우클레이데스의 《원론》 9권 정리 20번에 수록되어 있다.

귀류법을 사용하여, 소수의 개수가 유한하다고 가정하자. 그렇다면 수

를 생각하자. 이 수는

이므로 모든 소수보다 크며, 소인수를 갖지 않는다. 이는 모순이다. 따라서, 소수의 수는 무한하다.

골트바흐의 증명[편집]

크리스티안 골드바흐는 1730년에 레온하르트 오일러에게 보내는 서신에서 페르마 수쌍마다 서로소 정수들의 무한 집합을 이룬다는 것을 보여 유클리드의 정리를 증명하였다.[1]

오일러의 증명[편집]

레온하르트 오일러는 유클리드의 정리를 조화 급수를 사용하여 다음과 같이 증명하였다. 산술의 기본 정리에 따라, 모든 양의 정수는 유일한 소인수 분해를 가지므로, 분배 법칙을 사용하여 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

우변은 조화급수이며, 이는 발산한다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 좌변은 유한한 수들의 곱이므로, 만약 유한 집합이라고 하면 좌변은 유한하게 되고, 등식이 성립할 수 없다. 따라서, 는 무한 집합이다.

퓌르스텐베르크의 증명[편집]

힐렐 퓌르스텐베르크는 다음과 같은 증명을 1955년에, 아직 학부 학생일 때 발표하였다.[2]

위에, 다음과 같은 기저 를 갖는 위상을 정의하자.

즉, 등차수열들의 집합이다. 모든 기저 집합이 무한 집합이므로, 모든 열린집합무한 집합이다.

이 위상에서, 기저의 열린집합 들은 다음과 같이 모두 열린닫힌집합이다.

이제, 다음 등식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

만약 유한 집합이라면, 우변은 유한 개의 닫힌집합합집합의 여집합이므로, 열린집합이다. 그러나 좌변은 유한 집합이므로 열린집합일 수 없다. 따라서, 무한 집합이다.

참고 문헌[편집]

  1. Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. 《Proofs from The Book》 (영어) 4판. Springer. 3쪽. doi:10.1007/978-3-642-00856-6. ISBN 978-3-642-00855-9. 
  2. Furstenberg, Harry (1955). “On the infinitude of primes”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 62 (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566. 
  • Pinasco, Juan Pablo (2009년 2월). “New proofs of Euclid’s and Euler’s theorems”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 116 (2): 172–174. JSTOR 27642694. 
  • Rubinstein, Michael (1993년 4월). “A formula and a proof of the infinitude of the primes”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 100 (4): 388–392. JSTOR 2324965. 
  • Wunderlich, M. (1965년 3월). “Another proof of the infinite primes theorem”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 72 (3): 305–305. JSTOR 2313710. 
  • Aldaz, J. M.; A. Bravo (2003년 2월). “Euclid’s argument on the infinitude of primes”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 110 (2): 141–142. doi:10.2307/3647773. JSTOR 3647773. 
  • Cosgrave, John B. (1989년 4월). “A remark on Euclid’s proof of the infinitude of primes”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 96 (4): 339–341. JSTOR 2324090. 

외부 링크[편집]