등차수열

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등차수열(arithmetic sequence, 等差數列)은 연속하는 두 수의 차이가 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 수의 차이를 공차(common difference)라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.

수열의 첫항을 a_1, 공차를 d라고 하면 등차수열의 n번째 항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

a_n = a_1 + (n-1)d

등차수열 구하기[편집]

등차수열의 항과 공차 이용[편집]

i번째 항을 a_i, 공차를 d라 하면 등차수열의 일반항은 다음과 같다.

a_n = a_i + (n-i)d

물론 여기에 i=1을 대입하면 잘 알려진 일반항으로 다음을 얻는다.

a_n = a_1 + (n-1)d


이를테면 제5번째 항이 9이고, 공차가 2라면

a_n = a_5 + (n-5)d
a_n = 9 + 2(n-5)
a_n = 2n-1

공차[편집]

등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 d로 표시한다.

예시를 들면 다음과 같다.

  • 1, 2, 3, 4,…으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d는 1이다.
  • 2, 10, 18, 26, …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d는 8이다.
  • 1, 1, 1, 1, 1, … 이런 수열이 있을 때, 공차d는 0이다.
  • 342, 345, 348,351 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차d는 3이다.
  • 23461234, 23843963, 24226692, 24609421, …으로 증가하는 수열이 있을 때 공차d는 382729이다.
  • 0, -1, -2, -3, -4 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d는 -1이다.

등차중항[편집]

세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이룰때, bac의 등차중항이라고 한다. 세 수 a, b, c에 대하여 bac의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 b-a = c-b 이므로 다음이 성립한다.

b=\frac{a+c}{2}

등차중항은 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이룰때, bac의 이등분점이다. 네 수 a, b, c d가 이 순서로 등차수열을 이룰때, bad의 1:2 내분점이고 cad의 2:1 내분점이다. 즉, bc는 삼등분점이 된다.

수열의 정의상 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아 들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다. [1]

합 구하기[편집]

초항부터 n번째 항까지의 합 S_n는 다음과 같은 공식으로 나타난다.

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}

이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n
S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1
2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)
2S_n = [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d] + \dots + [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d]
2S_n = n[2a_1 + (n-1)d]
S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}

결론적으로 등차수열의 합의 원리는 {a_n}의 평균값 x {a_n}의 항의 개수로 정리 할 수 있다.(단, {a_n}은 유한수열)

등차수열의 합의 원리는 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다.

또 다른 방법[편집]

사람들은 다음과 같은 형태의 합을 쉽게 계산할 수 있다.

S = -5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5

S = 0임을 쉽게 알 수 있다.

등차수열의 합도 이와같은 방법을 이용할 수 있다.

즉 양끝의 합이 0이 되도록 양끝의 합의 평균을 구해 항의 갯수만큼 빼주는 것이다.

그 평균값을 m이라 하면

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2+an-1+an

양변 m을 n개 빼주면 우변은 위와 같은 형태로 쉽게 0이 되어버린다.

Sn - m * n = 0

Sn = m * n

Sn = (a1 + an)/2 * n

Sn = n(a1+an)/2

주석[편집]

  1. 자유자재수학[모호한 표현][쪽 번호 필요]

같이 보기[편집]