등차수열
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등차수열(arithmetic sequence, 等差數列)은 연속하는 두 수의 차이가 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 수의 차이를 공차(common difference)라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.
수열의 초항을 a1, 공차를 d라고 하면 등차수열의 n번째 항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- an = a1 + (n − 1)d
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[편집] 공차
등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 d로 표시한다.
예시를 들면 다음과 같다.
- 1, 2, 3, 4,…으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d는 1이다.
- 2, 10, 18, 26, …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 d는 8이다.
[편집] 등차중항
세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이룰때, b를 a와 c의 등차중항이라고 한다. 세 수 a, b, c에 대하여 b가 a와 c의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 b − a = c − b 이므로 다음이 성립한다.
등차중항은 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이룰때, b는 a와 c의 이등분점이다. 네 수 a, b, c d가 이 순서로 등차수열을 이룰때, b는 a와 d의 1:2 내분점이고 c는 a와 d의 2:1 내분점이다. 즉, b와 c는 삼등분점이 된다.
[편집] 합
초항부터 n번째 항까지의 합 Sn는 다음과 같은 공식으로 나타난다.
![S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}](http://upload.wikimedia.org/math/1/3/4/134fa4927dc3bef1cd63f89449590a13.png)
이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.
![2S_n = [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d] + \dots + [2a_1 + (n-1)d] + [2a_1 + (n-1)d]](http://upload.wikimedia.org/math/c/b/6/cb680ff89875c62271daf683ed9dad47.png)
- 2Sn = n[2a1 + (n − 1)d]
![S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}](http://upload.wikimedia.org/math/5/f/a/5fa9bda213b9fc59d0c53a8b8f32f315.png)
결론적으로 등차수열의 합의 원리는 {an}의 중앙값 x {an}의 항의 개수로 정리 할 수 있다.(단, {an}은 유한수열)
등차수열의 합의 원리는 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다.
