페르마 수

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페르마 수는 음이 아닌 정수 n에 대해

F_n = 2^{n}+1

형태로 나타나는 양의 정수를 말한다. 이러한 형태의 수를 최초로 연구한 피에르 드 페르마의 이름을 딴 것이다.

최초 여덟개의 페르마 수는 다음과 같다 (OEIS의 수열 A000215):

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 (오일러, 1732)
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

소수성[편집]

2n + 1 꼴의 수가 소수라면 n은 반드시 2의 거듭제곱이어야 한다. 따라서 2n + 1 꼴의 소수는 모두 페르마 수가 된다. 이러한 소수를 페르마 소수라고 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 F0,...,F4 뿐이다.

n > 4인 페르마 소수는 아직 알려져 있지 않다. 그밖에도 다음과 같은 의문은 해결되지 않고 있다.

  • n > 4인 Fn이 모두 합성수인가?
  • 페르마 소수가 무한히 많은가?
  • 합성수인 페르마 수가 무한히 많은가?

5 ≤ n ≤ 32 사이의 모든 Fn은 합성수라는 것이 밝혀졌다. 이 중 5 ≤ n ≤ 11 사이의 수만이 완전한 소인수분해가 구해져 있다.

소수성 상태[편집]

페르마 수 Fn 에 대하여 현재의 소수성 상태의 적요가 아래 표에 주어져 있다.[1]

Fn의 특성 n
소수 0, 1, 2, 3, 4
완전히 인수분해 됨 5, 6, 7, 8 (각각 2개의 소인수), 9 (소인수 3개), 10 (소인수 4개), 11 (소인수 5개)
5개의 소인수가 알려짐 12
4개의 소인수가 알려짐 13
3개의 소인수가 알려짐 15, 19, 25
2개의 소인수가 알려짐 16, 18, 27, 30, 36, 38, 52, 77, 147, 150, 284, 416
오직 1개의 소인수가 알려짐 14, 17, 21, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 37, 39, 42, ...(199개)... 672005, 960897, 2145351, 2167797, 2478782
합성수, 인수를 모름 20, 22, 24
특성을 모름 33, 34, 35, 40, 41, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ...

역사[편집]

피에르 드 페르마1637년 위 형태로 쓸 수 있는 모든 정수는 소수일 것이라고 추측했으나 1732년 레온하르트 오일러F5=4,294,967,297를 641 × 6,700,417 로 소인수분해 함으로써 반증[2] 되었다.

작도 가능한 다각형과의 관계[편집]

한편, n이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱들로 표현가능하다는 것과, 정n각형은 작도 가능하다는 것이 필요충분조건이다. 즉, 다시 말해서 p_1, p_2, \cdots , p_k가 모두 서로 다른 페르마 소수일 경우 n = 2^m p_1 p_2 \cdots p_k이면 정n각형은 작도 가능한 정다각형이 되고 그 역도 성립한다.

읽을거리[편집]

각주[편집]

  1. 페르마 수의 소인수
  2. 그러므로 이 수는 페르마 수이지만 소수가 아닌 수 중에서 가장 작은 수이다.