산술의 기본 정리

산술의 기본 정리(算術- 基本定理, fundamental theorem of arithmetic)는 "1보다 큰 모든 양의 정수는 유한한 개수의 소수의 곱으로 곱의 순서를 바꾸는 것을 제외하면 유일하게 표현된다"는 명제를 가리킨다.

즉, 임의의 양의 정수 $n$에 대해 다음과 같은 식

$n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}$

을 만족하는 소수 $p_1 \cdots p_k$와 정수 $r_1 \cdots r_k$의 쌍이 순서가 바뀌는 것을 같은 것으로 볼 때, 유일하게 존재한다.

소인수분해의 유일성 정리라고도 한다.

이 정리에 의해서 정수집합은 정역(integral domain) 중에서 유일분해정역(unique factorization domain)으로 분류할 수 있게 된다.

증명

이 정리의 증명은 다음과 같은 두 단계로 나뉜다.

1 단계

첫번째로 1보다 큰 양의 정수가 소수의 곱으로 표현할수 있음을 증명한다. 1보다 큰 양의 정수 $n$의 두번째로 작은 약수는 반드시 소수여야한다.(첫번째로 작은 약수는 1이다.) 만약 $m$이 두번째로 작은 약수이고, 소수가 아니라고 한다면, 소수의 정의에 의해서 $1<l<m$이면서 $m$을 나누는 양의정수 $l$이 존재하게되고, 따라서 $l$은 $n$도 나눌수있기 때문에, $m$이 두번째로 작은 약수라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 $n$은 반드시 소수인 약수를 갖게 된다. 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.

$n=p_1n_1$

만약,$n_1$이 소수라면, 증명은 여기서 종료된다. 하지만, $n_1$가 소수가 아니라면, $n_1$ 역시 1을 제외한 약수중에 가장 작은 약수를 소수로 갖기 때문에 다음과 같이 표현할 수 있다.

$n=p_1p_2n_2$

이를 소수만 남을때까지 반복 할 수 있기 때문에, 따라서, 1보다 큰 모든 양의 정수는, 소수의 곱으로 표현 가능하다.

2 단계

두번째로, 그렇게 표현한 소수의 곱이 (각 인수들의 자리바꿈을 제외한다면,) 유일함을 증명한다. 만약, 소수의 곱이 유일하지 않은 1보다큰 양의 정수가 있다고 가정해보자. 그 수 중에서 제일 작은 수를 n 이라고 한다면,

$n=p_1p_2p_3...p_k=q_1q_2q_3...q_l, (p_1 \le p_2 \le p_3 \le ... \le p_k, q_1 \le q_2 \le q_3 \le ... \le q_l, p_i,q_j$는 소수, $p_i \ne q_j)$

($p_i=q_j$이면, $n>\frac{n}{p_i}$ 역시 소수의 곱이 유일하지 않다.)

한편 $p_1^2 \le n, q_1^2 \le n$이고 $p_1^2$과 $q_1^2$은 동시에 $n$이 될 수 없으므로, $0<p_1q_1<n$

$N=n-p_1q_1$ 이라고 한다면, $0<N<n$ 이고, 또한 $p_1|N$, $q_1|N$ 이기 때문에, $N$의 유일한 소인수분해의 표현에는 $p_1$과 $q_1$가 동시에 존재하여야 한다.

따라서, $p_1q_1|N$이므로 $N=p_1q_1S$ ($S$는 양의정수)

$n=N+p_1q_1=p_1q_1(S+1)$

양변을 $p_1$으로 나누면

$\frac{n}{p_1}=q_1(S+1)$

$p_2p_3p_4...p_k=q_1(S+1)$, 즉 $q_1|p_2p_3p_4...p_k$

그러나 $\frac{n}{p_1}$는 $n$ 보다 작기 때문에 소인수분해가 유일하고 ,$q_1 \ne p_i$이면서, 동시에 $q_1$은 소수이므로, 소수의 곱이 유일하지 않는 양의 정수가 있다는 가정은 모순이다.

같이 보기

• 대수학의 기본 정리
• 리만 제타 함수
• 오일러의 곱셈 공식
• 유일분해정역