기저 (위상수학)

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일반위상수학에서, 위상 공간기저(基底, 영어: base 또는 영어: basis)는 열린 집합의 모임으로, 모든 열린 집합을 그 모임에 속하는 집합의 합집합으로 나타낼 수 있는 성질이 있는 경우를 가리킨다.

기저가 주어지면 그 기저에 대응하는 위상 공간이 유일하게 결정된다. 그러한 위상 공간을 기저에서 생성된다고 부른다. 단, 위상 공간이 주어졌을 때 그에 대응하는 기저는 유일하지 않을 수 있다.

정의[편집]

집합 X에 대해 다음과 같은 성질을 만족하는 X의 부분집합의 모임 BX의 위상에 대한 기저(basis)라 한다.

  1. 임의의 원소 xX마다 x가 들어있는 기저의 원소 b가 적어도 하나 존재한다.
  2. 만약 x가 두 기저의 원소 b1, b2의 원소일 때, x가 들어있는 기저의 원소 b3b1b2가 존재한다.

기저를 사용할 시 열린 집합은 임의의 기저의 합집합으로 표현할 수 있다. 때문에 많은 경우, 위상을 직접 쓰는 것보다 기저를 통해 위상을 기술하는 것이 더 편리하다.

집합 X에 대해 합집합이 X가 되는 X의 부분집합의 모임 SX의 위상에 대한 부분기저(subbasis)라 한다.

성질[편집]

기저는 다음과 같은 성질을 가진다.

  1. 기저는 전체 집합의 덮개를 이룬다.
  2. 기저에 속하는 두 집합 B_1, B_2와 그 교집합 I에 대해, 기저에 속하는 집합 B_3이 존재하여, B_3I의 원소 x을 포함하고 I의 부분집합이 된다.

어떤 전체집합의 부분집합의 모임이 이러한 성질을 만족하지 않는다면, 그 모임은 어떠한 위상 공간에 대해서도 기저가 되지 못한다. (단, 부분기저가 될 수는 있다.) 반대로, 이러한 성질을 만족하는 모임에 대응하는 위상 공간이 유일하게 결정된다.

위상 공간의 기저는 유일하지 않다. 예를 들어, 실수 집합의 위상 공간에 대응하는 기저는 열린 구간의 모임이 될 수 있고, 혹은 끝점이 유리수인 열린 구간의 모임이나 반대로 끝점이 무리수인 열린 구간의 모임도 기저가 될 수 있다.

바깥 고리[편집]