기저 (위상수학)

위상공간의 기저(base, basis)는 열린 집합의 모임으로, 모든 열린 집합을 그 모임에 속하는 집합의 합집합으로 나타낼 수 있는 성질이 있는 경우를 가리킨다.

기저가 주어지면 그 기저에 대응하는 위상공간이 유일하게 결정된다. 그러한 위상공간을 기저에서 생성된다고 부른다. 단, 위상공간이 주어졌을 때 그에 대응하는 기저는 유일하지 않을 수 있다.

성질

기저는 다음과 같은 성질을 가진다.

1. 기저는 전체집합을 덮는다.
2. 기저에 속하는 두 집합 $B_1, B_2$와 그 교집합 $I$에 대해, 기저에 속하는 집합 $B_3$이 존재하여, $B_3$은 $I$의 원소 $x$을 포함하고 $I$의 부분집합이 된다.

어떤 전체집합의 부분집합의 모임이 이러한 성질을 만족하지 않는다면, 그 모임은 어떠한 위상공간에 대해서도 기저가 되지 못한다. (단, 부분기저가 될 수는 있다.) 반대로, 이러한 성질을 만족하는 모임에 대응하는 위상공간이 유일하게 결정된다.

위상공간에 대한 기저는 유일하지 않을 수 있다. 예를 들어, 실수 집합의 위상공간에 대응하는 기저는 열린 구간의 모임이 될 수 있고, 혹은 끝점이 유리수인 열린 구간의 모임이나 반대로 끝점이 무리수인 열린 구간의 모임도 기저가 될 수 있다.